수학도서 - 수학 먹는 달팽이 수학 먹는 달팽이

국어 독후감
수학 먹는 달팽이
- 자연계에 숨겨진 수학 이야기 -
우리는 학교에서, 또는 학원에서 수학을 배울 때, 수학이라는 과목은 현실과는 관계가 없다는 느낌을 받는다. 특히, 초등수학에서 중등수학의 미분 적분학과 같은 이론적인 내용으로 넘어가는 과정에서는 도저히 현실에 적용할 수 없는, 현실과 동떨어진 이상적인 과목으로만 여긴다. 그러나 이 책에서는 그러한 선입견 속의 수학을 자연 현상 하나하나에 적용하여서 놀랍고도 신기하게 자연 현상을 설명하고 있다.
책의 초반부에는 한 구두 수선공의 이야기가 나온다. 가난한 구두 수선공이 아이가 8 명이나 있는데 더 생기면 9명의 아이들을 모두 키울 수 없을 정도라는 것이다. 그래서 은자에게 가서 자신의 아내가 9번째 자식을 가지게 될 지를 묻는다. 은자는 그에게 선조들이 가졌던 아이들의 수가 5대조는 1명, 4대조는 2명, 3대조는 2명, 고조부는 3명, 아버…(생략)

. 잇달아서 케플러는 천체들의 운동이 등속 원운동이 아니라 각운동량 보존의 법칙을 따르며 타원 궤도를 돌고 있다는 것을 주장했다. 뉴턴이 만유인력 법칙으로 이런 사실들을 증명한 후, 인간들은 자신들이 우주의 모든 것을 예측 가능하다고 생각하여 자만에 빠진다. 그러나 아인슈타인에 의해 우주관은 또 한번 크게 바뀌게 된다. 우주는 시간과 공간이 하나로 연결된 4차원의 시공간으로 되어 있다는 것이다. 결국, 인간들의 우주관은 완전히 뒤바뀌게 되었다.
얼마전에 학교에서 배운 프랙탈에 관한 흥미로운 이야기가 나왔다. 해안선의 길이를 잴 때, 위성사진에서는 거의 직선으로 나오는 구간이 더 가까운 항공사진으로 보면 곡선 모양으로 나와, 그 길이가 더 길게 된다. 그리고 그것을 좀 더 가까이서 보면 곡선의 길이는 더 길게 보이고, 무한히 가까이서 보면 그 길이도 무한하게 된다는 이야기이다. 정삼각형의 각 변을 3등분해서 그 가운데 길이를 한 변으로 하는 정삼각형을 계속 만들어 나가면 눈송이 모양이 되는데, 이 작업을 무한히 계속하면 그 둘레의 길이는 무한이 되고, 넓이는 유한이 되어 버린다. 유클리드 기하학에 익숙해 있던 인간들이 이것을 이해하지 못했다. 그래서 이 도형을 기형적이고 비정상적인 것으로 표현했다. 그러나 이러한 모양이 이 세계에 존재하기에, 우주는 유클리드 기하학적으로 표현되지는 않는다는 것이다. 이러한 상황 속에서 새로운 기하학을 필요로 하게 되었다. 그것이 구면기하학이다. 리만이 유클리드의 제5공준을 부정하여 탄생된 기하학이다. 이 구면기하학은 우주가 4차원적으로 이루어져 있다는 아인슈타인의 주장과 관계가 있어 보인다.
중요한 것은 이런 프랙탈이 자연 현상속에 숨어 있다는 것이다. 고사리의 잎 모양이나 나뭇가지, 뿌리, 구름, 산 등은 모두 똑같은 모양이 반복되는 프랙탈인 것이다. 이뿐이 아니다. 허파, 기관지, 혈관 계통, 소장, 신경세포, DNA에서조차도 프랙탈을 발견할 수 있다니, 이 세상속에 수학이 이렇게까지 퍼져있을 줄은 상상도 못했다. 세상이 새롭게 보이는 느낌이다.
비선형적 관계에 대한 이야기에서는, 아주 놀라운 이야기들이 있다. 두께가 0.02밀리미터인 종이를 반으로 쪼개고, 그 각각을 또 반으로 쪼개고, 이것을 50번 반복하여 쌓으면 그 두께가 22000000킬로미터에 달한다는 것이다. 선형적으로 생각한다면 1밀리미터가 될 것이라는 생각과 비교하면, 정말 어이없는 결론이다. 이와 같은 비선형함수는 작은 수를 극단적으로 부풀리기 때문에 때로는 매우 위험하기도 하다. 어떤 실험을 통해서 1.9와 2.1이라는 두 값을 얻었다고 하면, 이것의 오차는 5퍼센트에 불과하지만, 이것을 100제곱하면 두 수는 130배에 달할 정도로 커진다.
가장 관심 있게 읽었던 부분은 “매듭 이론”이라는, 말 그대로 꼬여있는 매듭을 푸는 방법을 연구하는 위상수학의 한 분야이다. 무엇보다도, 이것은 실생활에 직접적으로 응용이 가능하기에 더욱 더 흥미가 갔다. 두 매듭이 서로 같은지 다른지를 판별하는 것부터, 매듭을 변형하고, 풀어내는 과정이 수학의 한 분야라는 점 역시 수학이 일상생활 속에 깊숙이 스며들어 있다는 점을 보여준다.
이와 같은 1차원에서의 매듭에 관한 이론 외에도, 위상수학에는 2차원, 3차원에 대한 이론도 다루고 있다. 2차원의 도형 중 특이한 것이 ‘뫼비우스 띠’인데, 이것은 긴 직사각형 모양의 종이를 한번 꼬아서 붙인 것이다. 이것은 이미 중학교 1학년 때 배웠던 도형이다. 직사각형을 꼬지 않고 끝과 끝을 붙인 보통의 띠들은, 앞면과 뒷면이 서로 분리되어 있지만, 뫼비우스 띠는 앞면, 뒷면이 따로 없는 하나의 면으로 되어있다. 따라서 이 띠는 3차원 도형처럼 보이지만 사실은 2차원의 도형인 것이다.
여러 가지 논리적인 퀴즈 문제도 다루었는데 몇 가지는 이미 내가 알고 있던 문제였다. “이발사는 손수 면도하는 사람들은 자신이 면도를 해주지 않지만, 면도를 손수 하는 사람들은 모두 직접 면도해준다.”는 말이 모순이라는 것은 유명한 얘기이다. 이발사가 직접 면도를 한다면, 그는 자신을 면도할 수 없고, 직접 면도를 하지 않는다면 자신을 면도해야 하기 때문이다.
왕이 불량배들을 처형할 때, 일주일 내에 처형하되 불량배 자신들은 처형날짜를 모르도록 해야 한다고 했을 때, 그 말이 모순이라고 했다. 그러나 내 생각에, 이것은 전혀 모순 된 말이 아니다. 불량배들의 주장은 이러하다. 일요일에 처형한다면, 그들은 일요일이 마지막 날이므로 자신들이 죽을 날임을 알기에 일요일에는 죽이면 안 된다. 그렇다면 토요일 역시 토요일이 죽일 수 있는 마지막 날이므로 자신들을 죽일 날임을 알기에 토요일에도 죽이면 안 된다. 이와 같은 논리를 반복하여 왕이 절대 자신들을 처형할 수 없음을 주장했다. 이 논리 자체에 틀린 말은 없다. 단지 중요한 것은, 이 논리의 맨 처음에 ‘토요일까지 죽지 않고 살게 된다면’이라는 엄청난 가정이 숨어있다는 사실이다. 토요일까지 살아있지 않고 처형된다면, ‘일요일에 처형할 수 없다’라는 논리가 시작할 수 없는 것이다. 이런 논리 문제는 이전에 다녔던 수학 학원에서 많이 다루어 봤었다.
버뮤다 삼각지에 관한 이야기도 굉장히 유명하다. 이곳에 대해서는 많은 주장들이 있다고들 하던데, 내 생각에는 이곳이 좁은 범위 내에서 시공이 뒤틀려 생긴 작은 웜 홀의 한 종류가 아닐까 하는 생각을 해봤다. 그곳에서 외계인들이 지구인들을 연구하고 있을 지도 모르는 일이다. 터무니없는 이야기지만, 실제로 그곳에서 실종된 사람들이 많은 것으로 봐서, 전혀 가능성이 없지는 않다고 본다.
이 책에서는, 이곳을 통해 외계인들과 접촉한 한 정수론 교수의 이야기가 나온다. 외계인들에게 정수론의 기본적인 것에서부터, 암호학에 관한 이야기까지 많은 내용을 가르쳐준다. 거대수라는 것을 다루는데, 말 그대로 거대한 수이다. 지금까지 발견된 가장 큰 소수라던가, 자연수의 계승에 관한 이야기들이다. 수학적 진리는 우주 어디에서도 변하지 않는 성질인 만큼, 외계인들 역시 지구인들처럼 수학을 발전시키고 연구해 온 것이다. 변하지 않는 절대 진리이니 그 정도로 엄밀성과 논리성에 강력히 의존하기 때문에 사람들이 수학을 어렵게 느끼기도 하고, 재미있게 느끼기도 하는 것 같다.
1을 7로 나누면 0.142857142857...이 반복된다는 사실은 학교에서 이미 배운 바 있다. 그리고 2/7=0.285714..., 3/7=0.428571..., 과 같이 어떤 자연수를 7로 나누면 소수점 아래 자리는 모두 똑같은 수가 반복된다는 것도 배우지는 않았지만, 경험에 의해서 직감적으로 알고는 있었다. 그러나 이 책에는 142857이라는 수에 숨어있는 많은 신기한 성질들이 나와 있다. 우선 당연하게도 142857*7=999999이다. 그런데 142+857=999이고, 14+28+57=99이다. 아주 신기한 수이다.
이 책은 일상생활에서 일어나는 여러 가지 일들을 수학과 관계 지어 설명하기도 하면서, 또 어떤 면에서는 숫자들의 흥미로운 성질들을 나열함으로써 아주 재미있는 책이었다.