낙하 물체의 속력 측정, 만유인력과 쏠림힘과의 관계 탐구

1. 실험목적

만유인력은 자연현상 중에서 기본적인 힘일 뿐만 아니라, 지구의 중력은 우리의 생활에 직접적으로 영향을 미치고 있다. 따라서 이 실험에서는 지구 중력에 의해 낙하하는 물체의 속력을 측정하여 운동법칙을 찾아내고, 만유인력과 쏠림힘과의 관계를 탐구하기로 한다.

2. 실험과정

<준비물>
빛살문검출기(photogate detector) (1)
2 cm 간격으로 검고 투명한 눈금이 매겨진 플라스틱 자 (자유낙하하는 물체로 쓰인다.) (1)
컴퓨터(286) (1)
고무판 (1)
1 m 자 (1)
추 (40 g, 1)
낙하산 (1)
실타래 (1)

칼 (1)

5¼" 디스켓 (1)
<실험방법>

1) 빛살문 검출기를 사용하여 자유낙하하는 물체의 속도를 시간의 함수로 구한다.

2) 빛살문 사이로 자를 떨어뜨리더라도 방해받지 않도록 빛살문검출기를 실험대의 가장자리에 위치시키고 자가 떨어지는 바닥에 가방을 내려놓아 자에 충격이 덜가게 한다.

3) 자를 자유낙하시키고 데이터를 컴퓨터에 저장한다.<실험.1>

4) 다른 방법으로도 자유낙하 시키고 그 결과를 컴퓨터에 저장한다.

이…(생략)

5)위의 방법으로 5회(넷째 실험부터는 시간 관계상 2회실험)를 실험하여 각각의 경우에서의 중력가속도의 평균값과 표준편차를 구한다.

6)각 경우에서의 중력가속도 값을 구한다음 그 값을 서로 비교해 본다.

3. 배경이론

4. 실험결과

5. 결론 및 토의

1) 실험 결과에 대한 분석은 “실험 결과”에서 다루었다.

2) <실험5,6,7,8>은 시간 관계상 두 번씩만 실험을 하였는데 보다 정확한 자료를 얻기 위해서 더 많은 실험을 하지 못한 것이 아쉬웠다.

3) 만유인력은 두 물체의 거리의 제곱에 반비례하고 질량의 곱에 비례한다는 사실을 알 수 있었다. 즉.

4) 에서 이므로 중력가속도 값은 일정하다는 것을 알 수 있었다. 즉 중력가속도는 실험 조건이 달라져도 대체로 일정하다는 것을 알 수 있었다. 하지만 지구 대기권 내에서는 공기에 의한 저항력이 작용하기 때문에 낙하산과 같이 공기 저항력을 많이 받는 물체가 낙하할 때에는 중력가속도 값이 일반적인 값(9.8m/s^2)보다 작은 값으로 측정된다는 사실을 알 수 있었다.

6)각 경우에서의 중력가속도 값을 구한다음 그 값을 서로 비교해 본다.

*주의사항*
-자를 떨어뜨릴때 손으로 잡고 자를 떨어뜨리면 손에 묻은 땀에 의해 자가 자유낙하는 데에 방해를 받을 수 있다. 따라서 이 실험에서는 집게를 사용하여 집게로 자끝을 잡았다가 놓는 방법으로 손에 묻은 땀에 의해 발생할 수 있는 실험상의 오차를 최소화하였다.
-자를 낙하시킬 때에는 자가 정확하게 수직을 이루어 낙하하도록 해야한다. 그렇지 않으면 자가 기울어져서 공기 저항을 받을 수도 있기 때문이다.
-자를 떨어뜨릴 때에는 게이트의 가운데로 떨어뜨리지 말고, 오차를 최소화할 수 있도록 게이트 센서 바로 옆을 스치게 자를 떨어뜨린다.

3. 배경이론
고립계에서 정지해 있던 물체는 계속 정지해 있고, 운동하던 물체는 등속도로 운동을 계속한다. 자연의 이러한 특성을 관성의 법칙(law of inertia)이라고 하며, 이러한 물체의 성질을 관성(inertia)이라고 부른다. 물체마다 관성의 정도가 다른데 그 정도를 정량적으로 나타낸 것이 질량(mass), 더 정확하게는 관성질량(inertial mass)이다.
뿐만아니라 물체의 운동상태를 변화시킬 수도 있는데 그 요인을 힘(force)이라고 부르며, 운동상태의 변화는 가속도로 나타낸다. 이 힘과 운동상태의 변화 즉, 가속도사이의 관계를 운동법칙(law of motion), 또는 이를 찾아낸 사람의 이름을 따서 뉴턴(Newton)의 제2법칙이라고 부른다.
뉴턴이 발견한 운동법칙은 물체에 가해진 힘 F 와 힘에 의한 물체의 가속도 a 사이에 비례관계

F = ma (1)

를 갖는 힘을 정의하며, 이때 비례상수 m 이 물체의 (관성)질량이다.
특별히 힘 F 가 일정한 경우에는 식(1)에 따라서 물체의 가속도도 일정하고(물체의 질량 m 이 속도에 무관하게 일정한 경우), 따라서 시간 t 에서의 물체의 속도 v 는

v = vo + at (2)

이다. 여기서 vo 는 시간 t = 0 에서의 물체의 속도를 가리킨다.
속도와 가속도가 서로 같은 방향(또는 서로 반대 방향)인 경우 물체는 1차원운동을 한다고 말한다. 1차원운동을 하는 물체가 시간 t 동안에 움직인 거리 h 는 식(2)의 적분으로 부터

h = vot + 1/2 at2 (3)

가 된다.
뉴턴의 만유인력 법칙에서는 모든 물체사이에는 서로 잡아당기는 인력이 작용하며 그 크기는 물체간 거리의 제곱에 반비례한다. 또, 두 질점사이의 인력은 두 (중력)질량에 각각 비례한다고 받아들인다. 즉, 만유인력의 크기는

F = Gm1m2/r2 (4)

로 쓸 수 있으며, 여기서 비례상수 G(= 6.67 x 10-11m3/s2kg) 를 만유인력의 상수라고 부른다.
이 실험에서와 같이 지표면으로부터 물체까지의 거리가 지구의 반지름에 비해 매우 작은 경우 물체의 운동에 상관없이 식 (4)에서

r = R (R = 6370 km, 지구의 평균 반지름) (5)

으로 쓸 수 있으므로, 식 (1)과 함께 질량이 M( = 5.98 x 1024 kg)인 지구의 중력에 의해서 자유낙하하는 물체의 중력가속도가

g = GM/R2 = 9.8 m/s2 (6)

으로 물체에 상관없이 일정함을 알 수 있다. 실제로는 지구의 질량분포가 균일하지 않으며, 구형이 아닐뿐더러 지구의 자전에 따른 영향 등으로 중력가속도는 위치나 시간에 따라서 다소 변화한다.(서울의 경우 9.8m/s^2보다 작은 값이다.)

4. 실험결과



뒤에 첨부한 그래프를 분석하여 이 값을 구하고 각각의 평균과 표준편차를 구하면

<실험.1>에 대한 결과분석-자를 자유낙하시킨 경우




g
g
| g - g |
1회
9.58
9.61
0.03
2회
9.74
9.76
0.02
3회
9.76
9.78
0.02
4회
9.76
9.75
0.01
5회
9.84
9.79
0.05
평균
9.736
9.738
0.002
표준편차
0.08522
0.065543


위의 표에서 보면 자를 자유낙하 시킨 경우 중력 가속도의 평균값이 9.736 m/s^2 이 나왔다. 그리고 표준편차를 계산해서 이를 바탕으로 유의수준 5%에서 검정을 해보면 실험 결과는 신뢰수준 내에 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 실험결과를 바탕으로 서울 지역의 중력가속도를 추정해 보면 약 9.7 m/s^2 정도가 될 것이라고 생각해 볼 수 있다.


<실험.2>에 대한 결과 분석-30cm 위에서 자유낙하 시킨 경우


g
g
| g - g |
1회
9.34
9.49
0.15
2회
8.32
10.4
2.08
3회
9.52
10.6
1.08
4회
10.4
10
0.4
5회
9.52
10.2
0.68
평균
9.42
10.138
0.718
표준편차
0.662842
0.380757


위의 표에서 보면 30cm 위에서 자유낙하시킨 경우에도 중력가속도의 값이 크게 변하지 않았다는 것을 알 수 있다. 유의수준 5%내에서 검정한 결과가 신뢰구간내에 포함되므로 이 관측값 역시 비교적 정확한 값으로 볼 수 있다. 그러나 |g -g | 의 값이 큰 이유는 높은 곳에서 낙하시켰기 때문에 자유낙하하는 동안 공기 저항으로 인해서 오차가 생긴 것으로 생각된다.

<실험.3>에 대한 결과 분석-추를 매달아서 자유낙하 시킨경우



g
g
| g - g |
1회
10.08
12.2
2.12
2회
8.74
10.1
1.36
3회
9.44
9.48
0.04
4회
9.32
10.4
1.08
5회
9.9
10.4
0.5
평균
9.496
10.424
0.928
표준편차
0.471151
0.89828211



이 경우에도 유의수준 5%내에서 검정한 결과가 신뢰구간 내에 있으므로 비교적 정확한 자료라고 할 수 있다. 그리고 중력가속도의 값은 추를 매단 경우와 그렇지 않은 경우에 별로 변하지 않았다는 사실을 확인할 수 있다. 즉 중력가속도는 물체의 질량에 관계없이 일정한 값을 가진다고 할 수 있다. 다만 여기서 원래의 중력가속도보다 값이 작게 측정된 이유는 추에 대해 공기저항이 생기고 자가 추와 같이 떨어지면서 약간 기울어졌기 때문이라고 판단된다. 식으로 계산해봐도 에서 이므로 중력가속도 값은 물체의 질량에 관계없이 일정하다는 것을 알 수 있다.

<실험.4>에 대한 결과분석-낙하산을 자에 매어 낙하시킨 경우


g
g
| g - g |
1회
8.10
8.15
0.05
2회
8.26
8.42
0.16
3회
8.20
8.40
0.2
4회
8.00
8.11
0.11
5회
8.08
8.13
0.05
평균
8.128
8.242
0.114
표준편차
0.09173
0.1378985



이 경우에는 표에서 확인할 수 있듯이 중력가속도의 값이 크게 변했다는 사실을 알 수 있다. 즉 원래의 9.7m/s^2 보다 약 1.4m/s^2 (약 14%) 작은 값이 측정되었다. 더구나 이 결과 자체는 유의수준 5%내에서 검증해보면 신뢰구간 내에 있기 때문에 정확한 자료에 속한다. 따라서 낙하산을 매단 경우에는 공기 저항에 때문에 중력가속도의 값이 작게 측정된 것으로 밖에 볼 수 없다. 이를 식으로 표현하면

(k는 물질의 형태에 따라 결정되는 상수)

에서 낙하산을 매달면 추보다 k 의 값이 커지기 때문에 a 값이 g 보다 작아진다. 물론 여기서 공기 저항때문에 종단속도인 v 값도 작아지지만 짧은 거리를 낙하시키는 이 실험에서는 v 값이 작아지는 정도를 거의 무시할 수 있다.

<실험.5>에 대한 결과 분석-낙하산 두개를 자유낙하 시킨경우


g
g
| g - g |
1회
7.56
7.6
0.04
2회
7.76
7.94
0.18
평균
7.66
7.77
0.11
표준편차
0.1
0.17


낙하산을 두 개 매달면 위의 <실험.5>에서 낙하산을 한 개 매달았을 때보다 중력가속도 값이 더 작게 측정되었다는 사실을 알 수 있다. 즉 공기 저항이 더 커져서 낙하산의 종단 속도 값이 작아지는 대신, k 값이 더 커지기 때문에 중력가속도 값이 더 작게 측정된다. 여기서 낙하산의 갯수와 중력가속도 값의 감소폭이 일치하지 않는 이유는 물체의 형태에 의해 결정되는 상수인 k 값이 낙하산의 갯수에 비례하는 값이 아니고, 낙하산의 무게도 낙하시키는 물체의 무게에 비해 볼때 무시할 수 있는 값이 아니기 때문이다.

<실험.6>에 대한 결과 분석-낙하산과 추를 동시에 매달아 자유낙하 시키는 경우


g
g
| g - g |
1회
8.46
8.42
0.04
2회
8.8
8.74
0.06
평균
8.63
8.58
0.05
표준편차
0.17
0.16



낙하산과 추를 동시에 매다는 경우는 낙하산만 매달아서 자유낙하 시킴 경우와 추만 매달아서 자유낙하 시킨 경우의 중간정도의 중력가속도 값이 측정되었다. 이는 낙하산 때문에 공기 저항이 세어지고 동시에 추의 질량으로 인해 낙하물체의 질량이 커졌기 때문인데, 즉

에서 a 에관해 정리하면
가 된다. 그런데 m이 낙하산만 달았을 때의 질량(m`)보다 큰 값이기 때문에 이다. 따라서 낙하산만 달았을 때의 가속도 (a`)보다 낙하산과 추를 동시에 매달았을 때의 가속도(a)가 더 크게 나타나게 된다.

<실험.7>에 대한 결과 분석-아래로 던진 경우


g
g
| g - g |
1회
9.98
10
0.02
2회
9.46
9.9
0.44
평균
9.72
9.95
0.23
표준편차
0.26
0.05



아래로 던진 경우에도 가속도 값은 변함이 없었다. 그냥 자유낙하시킨 경우와 중력가속도 값의 차이가 거의 없었다. 다만 이 경우에 초속도가 주어지기 때문에 자가 센서를 통과하는 순간의 속력은 자유낙하 시킨 경우보다 더 크다고 할 수 있다.

<실험.8>에 대한 결과 분석-위로 던진 경우


g
g
| g - g |
1회
-8.78
-8.97
0.19
2회
-9.6
-12.7
3.1
평균
-9.19
-10.835
1.645
표준편차
0.365
1.865



위로 던진 경우에도 중력가속도의 값이 <실험.1>의 경우와 같을 것으로 예상되었지만 실제 실험에서는 상당한 오차가 발생했다. 이는 물체를 정확히 수직 방향으로 던지기가 힘들고 자유낙하와는 달리 사람이 직접 손으로 아래쪽에서 위로 던져주어야 하기 때문에 손에 묻은 땀에 의해 실험결과가 잘못 나오게 될 수도 있었다. 그리고 무엇보다도 사람이 물체를 던지기 때문에 일정한 힘을 가해서 물체를 위로 던지지 못한 것이 가장 큰 오차발생 요인이 아닌가 생각한다.

<<생각해 볼 것들>>
우주 유영을 하는 사람과 스카이 다이빙을 하는 사람은 모두 지구 중심을 향해 떨어지고 있다. 그런데 스카이 다이빙을 하는 사람은 떨어지고 있다는 느낌을 받는 반면 우주 유영을 하는 사람은 떠 있다는 느낌을 받게 된다. 그 이유는 무엇일까?

우주유영을 하는 사람은 공기가 없는 상태에 있지만 스카이 다이빙을 하는 사람은 대기권 내에 있다. 따라서 우주에서 유영을 하는 사람은 공기 저항이 없기 때문에 떨어지고 있다는 느낌을 받지 못하지만 스카이 다이빙을 하는 사람은 공기 저항을 피부로 느끼기 때문에 떨어지고 있다는 느낌을 받게 된다.

5. 결론 및 토의

1) 실험 결과에 대한 분석은 “실험 결과”에서 다루었다.
2) <실험5,6,7,8>은 시간 관계상 두 번씩만 실험을 하였는데 보다 정확한 자료를 얻기 위해서 더 많은 실험을 하지 못한 것이 아쉬웠다.
3) 만유인력은 두 물체의 거리의 제곱에 반비례하고 질량의 곱에 비례한다는 사실을 알 수 있었다. 즉.
(G는 만유인력상수, M,m은 두 물체의 질량, r은 두 물체 사이의 거리)
로 나타낼 수 있다는 사실을 확인할 수 있었다..
4) 에서 이므로 중력가속도 값은 일정하다는 것을 알 수 있었다. 즉 중력가속도는 실험 조건이 달라져도 대체로 일정하다는 것을 알 수 있었다. 하지만 지구 대기권 내에서는 공기에 의한 저항력이 작용하기 때문에 낙하산과 같이 공기 저항력을 많이 받는 물체가 낙하할 때에는 중력가속도 값이 일반적인 값(9.8m/s^2)보다 작은 값으로 측정된다는 사실을 알 수 있었다.