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과제 3. 진자의 주기는 무엇과 관계가 있을까?
활동일자 2001년 4월 14일
학과명: 학번: 이름:
목표: 놀이터에 있는 그네나 시계 추와 같이 앞 뒤로 흔들리는 물체를 흔들이 또는 진자라고 한다. 그리고 이와 같은 진자가 한 번 흔들리는(왕복하는) 데 걸리는 시간을 주기라고 한다. 진자의 주기가 무엇하고 관계가 있는지 실험을 통하여 조사한다.
준비물: 실, 바늘, 지우개, (초를 측정할 수 있는)초시계 또는 전자 시계, 자, 막대 또는 자, 접착 테이프, 사인펜 등
실
매듭
매듭
바늘
지우개
자
접착 테이프
책상
진자 만들기
1. 실을 바늘귀에 꿰어 묶은 다음에 실의 길이가 90cm 정도가 되도록 자른다.
2. 지우개의 중앙에 그림과 같이 바늘을 찔러 넣는다.
3. 실의 길이가 80cm가 되는 곳에 사인펜으로 표시를 하고 표시된 곳이 자의 모서리에 오도록 하여 매듭을 만든다.
4. 자에 매달린 진자를 책상 위에 올려 놓고 자가 움직이지 않도록 접착 테이프로 고정시킨다. 무거운 물건을 자 위에 올려 놓아 자가 흔들리지 않도록 하는 것이 좋다.
5. 지우개를 한 쪽으로 당겼다가 살짝 놓아보자. 진자가 움직이는 모습을 관찰하고 지우개가 한 쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 갔다가 다시 되돌아올 때까지 걸린 시간을 어림해 보자. 그리고 진자의 주기를 어떻게 측정하면 좋은지 생각해 보자.
5cm
추가 이렇게 10번 왕복하는데 걸린 시간을 잰다.
실험 1. 실의 길이를 다음 표와 같이 변화시키면서 지우개가 열 번 왕복하는데 걸린 시간을 측정한다. 이 때 지우개는 언제나 중앙에서 5cm 정도 잡아당겼다가 살며시 놓는다. 그리고 지우개가 한 쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 같다가 다시 한 쪽 끝까지 오면 1 번 왕복한 것이다. 이렇게 10번 왕복하는데 걸린 시간을 측정한다.
실의 길이를 달리 하여 지우개가 10번 왕복하는데 걸린 시간을 측정(세 번 반복…(생략)
하여 측정한다)하고 그 결과를 다음의 표에 기록한다.
실의 길이
80cm
70cm
60cm
50cm
40cm
30cm
20cm
10cm
1회
18.73
17.47
16.58
15.95
13.44
11.90
10.18
7.72
2회
18.78
17.77
16.35
15.09
13.62
11.93
10.03
7.92
3회
18.45
17.51
16.29
15.10
13.50
11.83
10.14
7.62
평균값(초)
18.65
17.58
16.41
15.08
13.52
11.913
10.21
7.75
주기
(=평균값/10)
1.87
1.76
1.64
1.51
1.35
1.19
1.02
0.78
(소수 셋째자리에서 반올림하여 작성)
* 평균값은 세 측정값을 모두 더한 다음 3으로 나누어 구한다.
* 위의 표를 보고 진자의 주기가 실의 길이에 따라 어떻게 변하는지 보여주는 그래프를 모눈종이 위에 그려보자. 가로축은 실의 길이를 표시하고 세로축은 주기를 표시한다.
* 그래프를 보고 알 수 있는 사실은 무엇인가?
- 실의 길이와 주기는 상관이 있다. 그래프를 보면 쉽게 알 수 있듯이 실의 길이가 짧아짐 에 따라 주기도 빨라지는 것을 알 수 있다.
* 그래프를 보고 실의 길이가 120cm일 때 주기가 얼마나 될지 예상해보고, 실제로 주기를 측정해보자.
; 실의 길이 120cm일 때의 예상 주기: 그래프에서 연장선을 그어 대충 실의 길이가 120cm일 때의 주기를 알아보았더니 2.25~ 2.30사이였다.
예상주기는 그 중간값인 2.28로 잡았다.
; 실의 길이 120cm일 때의 실제 주기; 2.25
1회
2회
3회
평균값(초)
주기
시 간
22.69
22.01
22.85
22.52
2.25
* 그래프를 보고 실의 길이가 25cm일 때 주기가 얼마나 될지 예상해 보고, 실제로 주기를 측정해보자.
;실의 길이 25cm일 때의 예상 주기: 1.10( 작성한 그래프의 25cm일 때의 눈금을 읽은 값이 1.10이었다.)
;실의 길이 25cm일 때의 실제 주기: 1.10
1회
2회
3회
평균값(초)
주기
시 간
11.01
11.04
11.03
11.03
1.10
5cm
지우개 1, 지우개 1/2, 지우개 1/4
문제 2. 실의 길이가 80cm 인 지우개가 열 번 왕복하는데 걸린 시간을 측정한다. 이번엔 지우개를 그림과 같이 가로로 반을 자른 다음 주기를 측정한다. 실의 길이는 80cm로 하고 지우개는 언제나 중앙에서 5cm 정도 잡아당겼다가 살며시 놓는다. 지우개가 열 번 왕복하는데 걸린 시간을 측정한다. 다시 지우개를 반으로 자른 다음 지우개가 10번 왕복하는데 걸린 시간을 측정한다. 측정 결과를 다음의 표에 기록한다.
* 처음 지우개의 세로 길이는 = 6.2 cm
지우개 크기
1
1/2
1/4
1회
18.73
18.63
18.49
2회
18.78
18.47
18.52
3회
18.45
18.49
18.53
평균값(초)
18.65
18.53
18.51
주기
(=평균값/10)
1.87
1.85
1.85
* 위의 표를 보고 진자의 주기가 지우개의 크기에 따라 어떻게 변하는지 보여주는 그래프를 모눈종이 위에 그려보자. 가로축은 지우개의 크기를 표시하고 세로축은 주기를 표시한다.
* 그래프를 보고 알 수 있는 사실은 무엇인가?
; 지우개의 크기, 질량이 변했음에도 주기의 변화는 없음을 그래프를 통해 알 수 있다. 이것에서 진자운동의 주기와 물체의 질량과 는 상관없음을 알 수 있다.
* 지우개의 크기는 진자의 주기에 영향을 주는가? 아니면 영향을 주지 않는가? 그렇게 생각하는 이유를 적어보자.
; 지우개의 크기, 즉 질량은 진자의 주기에 영향을 주지 않는다. 무거운 지우개는 처 음에는 관성으로 천천히 출발하지만, 일단 그 무게에 의해 가속이 되면 그 탄력으로 쉽게 오를 수 있다. 하지만 가벼운 지우개는 처음에는 쉽게 출발하지만, 언덕을 오 를 때에는 무게에 의한 탄력이 적어 쉽게 오를 수 없어 결국 두 주기는 차이가 없게 된다.
문제 3. 실의 길이가 80cm이고 크기가 1/4인 지우개가 열 번 왕복하는데 걸린 시간을 다시 측정한다. 그러나 이번엔 지우개가 중앙에서 40cm 정도 잡아당겼다가 살며시 놓는다. 이때 지우개가 10번 왕복하는데 걸린 시간은 얼마인가? 이 결과는 지우개를 5cm 정도 잡아당겼다가 놓았을 때 측정한 값과 일치하는가? 일치한다.
* 이 실험으로 알 수 있는 사실은 무엇인가?
1회
2회
3회
평균값(초)
주기
시간
18.84
18.43
18.53
18.60
1.86
; 진자의 주기는 진폭의 크기에 관계없다.
진폭을 5cm에서 40cm로 늘려서 실험을 했을 때도, 주기의 변화는 같은 1.86으로 변함이 없었다. 여기에서 진폭은 진자의 주기에 영향을 주지 않는다는 것을 알 수 있다.
문제 4. 실험 1에서 구한 값을 다음 표에 적는다.
실의 길이
80cm
70cm
60cm
50cm
40cm
30cm
20cm
10cm
주기
1.87
1.76
1.64
1.51
1.35
1.19
1.02
0.78
주기x주기
3.50
3.10
2.69
2.28
1.82
1.42
1.04
0.01
* ‘주기x주기’란에는 주기값에 자신의 주기값을 곱한 값을 적는다. 예를 들어, 주기가 2가 나온 경우에는 2x2를 하여 나온 값 4를 적는다.
* 위의 표를 보고 ‘주기x주기’의 값이 실의 길 이에 따라 어떻게 변하는지 보여주는 그래 프 를 모눈종이 위에 그려보자. 가로축은 실의 길 이를 표시하고 세로축은 주기x주기’의 값을 표시한다.
* 그래프를 보고 알 수 있는 사실은 무엇인가?
; 실험 1에서의 그래프와 같이 실의 길이가 줄어듬에 따라 주기*주기의 그래프 역시 감소하는 그래프가 그려진다.
* 실험 1에서 그린 그래프와 비교해 볼 때 무엇을 더 알 수 있는가?
; 두 그래프 모두 실의 길이가 줄어듬에 따라 그 값이 감소하는 형태의 그래프이나, 시간이 1일 때 한 번 만난다.
두 그래프 사이의 폭이 점점 좁아지다가 실의 길이가 20~30cm 사이일 때 한 점에서 만난 이후로 주기*주기의 그래프는 주기 그래프보다 아래쪽에 위치하게 된다.
또 주기 그래프는 줄어드는 형태가 포물선 모양인데 비해, 주기*주기 그래프는 거의 직선에 가까운 모양이다.
* 진자의 등시성이란 무엇인지 조사하고 갈릴레오가 진자의 주기에 대해 알게 된 일화를 찾아보자.
- 진자의 등시성
; 진자라고 하는 것은 일정한 주기를 가지고 한 정점 주위를 주기적으로 진동하는 계를 가리킨다. 진장 중에서 가장 단순한 것으로, 실의 한끝에 추를 달고 다른 끝을 한 정점에 매어단 진자를 단진자라 한다. 이 단진자는 추가 받는 중력 때문에 진동하게 되어 진동 주기, T = 2π√ℓ/g로 표시한다. 여기서 ℓ은 정점으로부터 추까지의 거리이고, g는 중력 가속도이다.
지구는 타원체로 되어 있어서 지표에서 지구 중심까지의 거리는 장소에 따라 달라지는 까닭 에 g도 따라서 달라진다. 이 때 g가 커질수록 즉, 중력이 커질수록 단진자의 흔들림은 빨라진 다. 또한, 실의 길이 ℓ이 2배, 3배가 되면 주기는 T는 √2배, √3배가 된다. 그러므로 주기 T 는 추의 질량이나 흔들림각 θ에는 관계 없음을 알 수 있다. 이것을 진자의 등시성이라 한다.
- 갈릴레이의 진자의 등시성 발견
1583년 갈릴레이 Galileo Galilei 가 학생시절인 19세 때에 어느 날 피사 대사원에서 기도를 올리고 있을 때 비몽사몽간에 천정에 매달려 있는 명장 포센디가 만든 아름다운 램프가 눈에 띄었다 한다 램프는 방금 사원지기가 불을 켜고 막 손을 뗀 다음이어서 앞뒤로 흔들리고 있었다 처음에는 이 진동이 꽤 컸었는데 점점 작아지면서 나중에는 멈춰 버리고 말았다
갈릴레이는 이 진동이 크든 작든 간에 램프가 한번 흔들리는 데 걸리는 시간이 같아 보였다 그는 당시 의학을 공부하고 있어서 인간의 맥박이 몸의 상태가 정상이면 규칙적이란 것을 알고 있었다 거기서 그는 자기가 생각한 사실을 확인하기 위하여 램프가 흔들리는 동안 자기의 맥박수를 세어 보기로 했다 이 방법으로 그는 램프가 와전히 1회 흔들리는 데 걸리는 시간은 진동이 크거나 작거나 같다는 것을 증명했다 여기서 그는 오늘날의 단진자의 아이디어를 얻은 셈이다
단진자는 긴 실의 위쪽 끝을 묶어 매달고 아래쪽에 작은 공을 단 것을 말한다. 이 공을 옆으로 조금 올렸다 놓으면 꼭 램프와 같은 진동을 했다 완전히 한 번 흔들리는 데 걸리는 시간은 진동이 크건 작건 같았다 그리고 또 그는 실의 길이를 달리하면 진동하는 속도도 바뀌는 것을 발견했다
실험을 마치고...
‘진자의 주기를 측정하라’라는 보고서 작성 주제를 들었을 때, 쉽지만은 않을거란 생각은 했었다. 어렵다 생각은 했었지만, 그래도 너무 어렵다는 생각이 든다. 특히 작성한 그래프를 분석하여 해석하는 것에서는 정말 난감했다. 눈으로 봐도 뻔히 보이는 감소형태밖에 없는데 이 그래프로 알게 된 사실을 쓰라니.... 머리는 점점 아파오고 생각나는 것은 없구... 전산실에서 같이 실험한 친구랑 둘이 이러고 앉아 있는 것이 몇시간째인지... 그래도 보고서를 모두 마치고 실험 후기를 쓰는 지금 나의 맘과 자판을 두들기는 손가락은 가볍기만 하다.
진자의 주기라.. 평소 나의 생각대로라면 진자 운동은 실의 길이는 물론 연관이 있겠지만, 물체의 무게도 진자 운동에 많은 영향을 끼칠 것으로 알았다. 그런데 막상 실험을하고 보고서 작성을 위해 생각을 해보니 그렇지 않다는 것을 알게되었고, 당연히 그러리라 생각해왔던 것이 잘못되니 생각이었단 사실을 깨닫게 되니 놀라(?)웠다. 왜 무게가 진자 운동에 영향을 주지 않을까?? 생각을 해서 결론을 내리긴 했지만, 그래서 그 나름대로의 이론에 공감도 하지만!! 여전히 나는 물체의 무게가 진자 운동에 지대한 영향을 끼치는 존재란 생각을 떨쳐버릴 수가 없다.
이번 보고서를 작성하면서 얻은 것이 있다면 진자 운동에 대한 나의 잘못된 생각을 바로 잡게 된 것과, 진자운동의 등시성을 갈릴레오가 발견했다는 것, 또... 한글에서 챠트 만드는 방법을 알게되었다는 것이다. 앞으로는 요긴하게 자주 사용해야 겠다. 매번 하나의 보고서를 작성하면서 보고서와 관련된 내용 뿐만 아니라 그 외의 것들에 대해서도 알게되어 좋다. 보고서를 작성하기 위한 실험은 빨리 끝났지만, 보고서 작성하는데 생각보다 시간이 오래걸렸던 것 같다. 어려운 주제의 과제를 하나 해치운(?) 나는 지금 교대의 넘어야 될 산을 또 한발 올라선 것이란 생각에 뿌듯하다.. ^^*
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