수학도서 - 과학의 여왕, 수학을 읽고나서 과학의 여왕, 수학

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  등록일 : 2010-05-01

과학의 여왕, 수학을 읽고나서 과학의 여왕, 수학
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과학의 여왕, 수학
E.T. BELL / 경문사

a, b가 정수이고 b가 0이 아니면, a와 b 의 ‘비율’을 a/b로 나타낸다.(a를 b로 나눈 것이다.) ‘유리수’란 두 정수의 비율이라 정의한다. 정수들의 집합은 유리수 집합의 부분집합이다. 분모 b를 1이라고 놓으면 이걸 알 수 있다.
유리수의 집합에는 무리수들이 포함되어 있지않다. ‘무리수’란 어떠한 두 정수의 비율도 아닌 수를 말한다. 예를 들어 2의 제곱근은 무리수이다. 이건 쉽게 증명할 수 있다. 그 반대라고 가정한 다음 모순이 생김을 보이면 된다.
모든 무리수와 모든 유리수를 합쳐서 ‘실수’의 집합이라는 더 큰 모임을 만들 수 있다. 이것을 그림으로 나타낸다면 한없이 긴 직선 위에 적당한 점 O를 잡고, 1cm를 잡자. O로부터 오른쪽으로 1cm간격으로 1,2,3,…을 잡고, O로부터 왼쪽으로 역시 같은 간격으로 -1,-2,-3,…을 잡아라. 앞의 것들은 양수라 하고 뒤의 것들을 음수라 부른다. 그리고 O는 0이라 쓰자. 이렇게 표시하는 점들은 정수와 대응한다. 유리수에 대응하는 점들은 이 직선에 흩어져 있고, 그들 중 몇을 그림에 표시하면 2의 제곱근은 O의 오른쪽, 유리수 141/100 과 142/100 사이 어딘가에 있다. 우선은 이 막연한 위치에 만족하자. 그렇지만 직선상의 각각의 점들은 단 하나의 실수(유리수일 수도 있고, 무리수일 수도 있다)와 대응함을 밝혀 둔다. 실수들은 직선의 모든 곳에서 촘촘하다. 왜냐 하면 어떠한 두 점을 잡더라도 그 사이에 또 다른 실수가 놓여 있기 때문이다. 다른 방법을 다 제쳐 두고라도, 두 점을 잇는 선분의 중점을 잡으면 된다. 실수 전체의 집합은 직선에 놓여 있는 점들 전체의 집합과 하나씩 하나씩 서로 대응한다.
‘복소수’를 모아 놓으면 더 큰 집합을 만든다. a, b는 실수를 나타낸다고 하고, 이들의 순서쌍 (a, b)를 만들도록 하자. 이 순서쌍이 몇 가지 공리를 만족하도록 하면, 이 순서쌍을 ‘복소수’라 부른다. 이것이 맍고해야…(생략)




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