수학도서 - 과학의 여왕, 수학을 읽고나서 과학의 여왕, 수학

과학의 여왕, 수학
E.T. BELL / 경문사
a, b가 정수이고 b가 0이 아니면, a와 b 의 ‘비율’을 a/b로 나타낸다.(a를 b로 나눈 것이다.) ‘유리수’란 두 정수의 비율이라 정의한다. 정수들의 집합은 유리수 집합의 부분집합이다. 분모 b를 1이라고 놓으면 이걸 알 수 있다.
유리수의 집합에는 무리수들이 포함되어 있지않다. ‘무리수’란 어떠한 두 정수의 비율도 아닌 수를 말한다. 예를 들어 2의 제곱근은 무리수이다. 이건 쉽게 증명할 수 있다. 그 반대라고 가정한 다음 모순이 생김을 보이면 된다.
모든 무리수와 모든 유리수를 합쳐서 ‘실수’의 집합이라는 더 큰 모임을 만들 수 있다. 이것을 그림으로 나타낸다면 한없이 긴 직선 위에 적당한 점 O를 잡고, 1cm를 잡자. O로부터 오른쪽으로 1cm간격으로 1,2,3,…을 잡고, O로부터 왼쪽으로 역시 같은 간격으로 -1,-2,-3,…을 잡아라. 앞의 것들은 양수라 하고 뒤의 것들…(생략)

할 공리 중 세가지만 보자. 두개의 복소수 (a, b)와 (c, d)를 주었을 때, 이들의 덧셈 (a, b) ? (c, d)는 (a+c, b+d)라 정의한다. 이들의 곱셉 (a, b) ⊙ (c, d)는 (ac-bd, ad+bc)라 정의한다. 이들이 서로 같다는 말은 a=c이고 b=d인 것을 말하며, 기호 (a, b)=(c, d)로 나타낸다. 여기서 a+c, ac 등등은 실수들의 보통 연산을 나타낸다.
이렇게 덧셈, 곱셈, 같다는 말을 정의했는데, 복소수 (a, b), (c, d) …를 모두 모은 집합이 장의 공리들을 모두 만족함을 보이는 것은 간단한 일이다.
이것이 대략 각 막 중에서 내가 읽은 막의 줄거리이다. 아직 내가 이해하기에는 다소 어려운 부분이 많았지만 내게 새로운 지식들이 쌓여간다는 사실이 기뻤고, 막연하게 알고 있었던 수에 대해 자세히 알게 되었다. 그리고 달달 외우기만 하던 공식들이 여러 수학자들의 증명에 의해 발견되어가는 과정들과 사소한 것들에 대한 여러 중요한 발견과 깊은 의미들이 내포해 있다는 사실을 알았다. 나도 여기 나오는 여러 위대한 수학자들처럼 수학에서 무엇인가 새로운 발견을 해 보고도 싶다.