수학도서 - 무한을 셈한 칸토어 무한을셈한칸토어

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  등록일 : 2012-05-27

무한을 셈한 칸토어 무한을셈한칸토어
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무한을 셈한 칸토어

하늘에 별은 얼마나 많을까? 또, 바닷가에 모래는 얼마나 많을까? 셀 수 있을까?
이런 궁금증을 가져보지 않은 사람은 없을 것이다. 어떻게 하면 이 궁금증을 해결할 수 있을까?

지구상의 모래알의 전체를 생각해보자. 물론 모래알들을 한 곳에 모을 수는 없지만 모래알 전체의 모임은 분명히 생각할 수 있다. 모래알은 굉장히 많기는 하지만 충분한(?) 시간만 있다면 셀 수 있다. 실제로 지금으로부터 2200여년 전, 그리스의 수학자 아르키메데스는 전 우주를 모래알로 채우려면 얼마나 많은 모래알이 필요한지를 계산했다고 한다.

이번에는 우주 전체를 생각해보자.

지구에서 우주의 지평선까지는 150억 - 200억광년이고 거기까지에는 약 1000억개의 은하가 있다고 한다. 은하계마다 약 4000억개의 항성이 있고 항성의 1/3이 태양계와 마찬가지로 행성을 갖고 있다. 그 개수를 평균 10개라고 하면 은하계에는 1조3천억개의 행성이 있다고 예측되기 때문에 하늘의 별의 개수는 까무라칠만큼 많은 `유한`이다.

그러나 어쨋든 별의 수나 모래알의 수는 유한이므로 시간만 충분하다면 셀 수 있는 것이다.

그러면 아무리 시간이 많아도 끝까지 셀 수 없는 경우도 있을까? 칸토어(G. Cantor, 1845 - 1918)가 무한에 대한 연구를 발표하기 이전에는 무한은 유한이 아니다라는 정도의, 인간이 셈할 수 있는 한계를 초월한다는 의미로나 쓰였다. 이 시절까지도 무한을 분석, 규명하는 것은 수학계의 금기로 여겨지면서 수학은 유한인 경우만 다루고 있었다.

칸토어는 무한의 세계를 파헤치고 이것을 `수학의 언어`로 나타내는 작업에 착수하였다. 인간의 손이 미치지 않았던 `무한`을 새롭게 조명하고, 유한 수를 셈하듯이 무한 수를 셈해보려고 하였던 것이다.

무한을 셈하기 위해서는 무한이 무엇인가에 대한 이해가 있어야 한다. 무한의 수학을 창시한 칸토어도 수학자이기에 앞서 무한의 문제를 깊이 성찰한 철학자였다. 집합론의…(생략)




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