수학도서 - 손오공의 수학나라를 읽고 수학수행평가

수학수행평가로 수학에 대한 책을 읽고 독후감을 써오라는 과제를 받았다.
평소에 흥미를 끌만한 책 아니라면 읽을 시간도 없고 해서 거리를 두고 살았지만, 이번에는 아예 내 흥미하고는 거리가 무한히 먼(?) 수학에 대한 책을 읽고 독후감을 써야한다는 생각에 참 암담했다. 그래서 결국 읽게된 ‘손오공의 수학나라’라는 책도 도서실에 있는 많은 수학에 관련된 책자들 중에서 그나마 가장 쉬워 보이는 것이긴 하지만 말이다.
수행평가라니 안 할 수는 없으니까 그래도 대충 내 이해 범위 안에서 ‘손오공의 수학나라’ 라는 책을 읽고 나름대로 연구한 것을 설명하고자 한다.
나는 ‘손오공의 수학나라’의 많고도 많은 파트 중에서도 극한이라는 파트를 선택했다.
다른 것들은 다 등차수열이니, 등비수열이니 제목만 보아도 머리가 아픈 것들이라서...가 아니라 극한이라는 파트에 대해서 잠깐 읽어보니까 그나마도 제일 이해…(생략)

1. -극한의 의미-

2. -무한급수의 합-

을 내가 가지고있다고 가정해보자, 이 끈 길이의 2, 4, 8배가 되는 끈을 그 배가 되는 길이만큼 잘라서 1㎝의 끈에 계속 이어 붙인다고 하면, 비록 작은 1㎝의 끈에서부터 시작했지만 끝없이 이어져서 죽을 때까지도 다 못 잇는 무한한 길이가 될 것이다. 하지만, 그와 반대로 이 1㎝의 끈을 ½, ¼, ⅛, ...처럼 계속 나누어 간다면 그 크기는 무한히 작아질 뿐 0이 되지는 않는다. 시각적으로 봤을 때 1㎝의 끈을 계속 반으로 자른다면 결국에는 눈에 보이지 않아서 우리 모두들 끈의 길이가 어느 한계에 도달하게 되면 0이 된다고 생각하기 쉽지만, 단지 나눌 공간이 없을 뿐이지 끈의 길이는 0이되는 것이 아니라는 것이다.
마치 0.0000000000001㎝와 0.00000000000001㎝는 엄연히 다른 길이지만 서로 눈에 보이지 않는 초미니의 길이인 것처럼 말이다. 이렇게 굳이 따지자면 한도 끝도 없는 이런 예들은 극한의 의미를 충분히 잘 설명해 주고 있다. 결론은 우리가 죽을 때까지 1㎝의 끈 또는 직선을 계속 나눈다고 할지언정 다 나눌 수 없다는 사실이다. 다시 한번 말하지만 극한값이 0이라는 것은 0의 값에 한없이 가까워진다는 의미이지 그 값이 결코 0과 같아진다는 의미는 아니다. 정말 놀라지 않을 수 없다.
그런데 이 내용을 공부하면서 극한값이 0에 한없이 가까워진다는 소리를 들었을 때 문득 생각나는 것이 우리가 2학기 수학범위로 배웠던 무리함수의 그래프인 것은 왜일까, 아직 극한에 대해 자세하게 배우지 않아서 모르겠지만, 지금까지 내가 책을 읽으면서 극한에 대해 대충 떠올린 것은 점근선을 기준으로 x축이나 y축으로는 닿을 듯 하면서도 닿지 않는 무리함수의 그래프이다. 전혀 상관없는 이야기일수도 있지만.. 당연히 자세한 건 배워봐야 알겠지...


2. -무한급수의 합-
다음으로는 설명할 것은 무한급수의 합이라는 파트이다. 아직도 극한이라는 개념에 대해 알고 난 뒤 너무 신기해서 마음을 가라앉히기 어려운데.. 여기서는 무한을 모두 더하면 유한이 된다는 희한한 말을 하고 있다. 자―여기서 이해를 돕기 위해 또 한 예를 들어보자. 아까 위에서 극한의 의미를 설명할 때 1㎝의 끈이나 직선을 계속 반으로 자르더라도 0이 되지 않는다고 했는데 그 반으로 계속 나눈 것을 다 더하면 그 합은 뭐가 될까? 정답은 1이다. 이유인즉, 길이를 계속 반으로 잘라서 붙였다고 할지라도 그 나눈 것들은 모두 처음에는 1㎝의 길이에서 나누어진 것이고, 당연히 그 조각들을 다 합쳐서 모은 합은 처음 끈을 반으로 계속 나누기 전의 1㎝가 되는 것이다. 결론은 무한히 나눈 끈이나 어떤 것들은 다시 잘라붙이든간에 정해진 처음의 길이에는 변함이 없다는 것이다. 처음에 ½, ¼, ⅛... 이런식으로 계속해서 무한히 나뉘었던 것들이 결국에 다시 ½+¼+⅛... 이런식으로 합한다면 결국은 1이라는 정확한 값을 나타낸다는 것이다.. 셀 수도 없는 무한한 수를 더하는데 그 값은 1이라는 유한한 값이 된다는 이 사실은 앞서 극한의 의미를 연구하면서 받았던 충격처럼 새로웠다.
이런 계산은 순환소수의 계산에서 그 예를 살펴 볼 수 있는데,
=>> 예] 1/9 = 0.1111...
양변에 9를 곱하면??
1/9×9 = 0.1111...×9 ―> 1 = 0.9999...
앞에서 보면 1과 0.99999...이 같다고 되어 있는데 왜 이 두수가 같게 되는 것일까?
0.9999...는 무한급수 0.9+0.09+0.009...이다. 이것을 무한급수의 합을 구하는 공식에 대입 하면 그 값이 1이 된다고 한다. 내가 여기서 뭐라고 설명할 수 없는 것이 아직까 지 이 무한급수의 합이나 극한에 대해서 아직까지 정확하게 배우지 못했기 때문이다. 이해를 해 주셨으면 좋겠다.
아무튼 1과 0.9999..라는 것은 중학교 3학년 수학 첫 파트에 유리수와 무리수 부분을 배울 때 순환소수 부분에서 했는데, 다들 생각이 나실지 모르겠다. 나도 얼핏 생각이 나는데 거기서 순환소수 0.9999...를 1과 같이 고칠 수 있었던 기억이 난다. 아무튼 1을 소수로 고치면 0.9999...와 같은 순환소수가 된다는 그것만큼은 확실하다. 하지만 여기서는 한없이 1에 가까워지는 것이 아니라 정확히 그 값이 1이 된다는 점에서 더욱 주목할 만 하다. 다시 말해서, 여기서는 극한값이 1이라는 것이다.
눈에 보이지만 않을 뿐이지 무한히 계속되고 있다는 이 극한은 나로 하여금 전혀 몰랐던 새로운 사실을 알게 해주었고, 이것에 대해 더욱 흥미를 갖게 했다. 극한이라는 개념이 우리가 사는 일상생활에 다 적용이 된다면 이 세상사람들은 지구에서 다 영원한 생명을 누릴 수 있을 것이고, 우리가 먹는 음식들도 없어지거나 하지 않고, 무한히 계속될텐데.. 하는 생각도 해보게되었다. 끝이 닿을듯하지만 결국 끝이 오지 않는 것처럼...아무튼 이번에 별로 내키지 않은 마음으로 시작했던 수행평가였지만, 이것에 대해 생각하고 연구하면서 지금까지 미처 몰랐던 부분에 대해서 새롭게 알 수 있었기 때문에 더없이 좋은 기회가 된 것 같다.