수학도서 - 수학먹는달팽이 수학먹는달팽이

수학 먹는 달팽이를 읽고
수학 먹는 달팽이. 일단 이 책 제목을 들었을 때에 나는 새로움 이라는 것을 느꼈다. 내가 읽은 수학 책들은 그저 수학을 재미있게... 이런 것들이나 아니면 그저 단순한 단어나 공식이름만 적혀있는 경우가 많았다. 하지만 이 책은 특이하게도 수학 먹는 달팽이라는, 아주 재미있는 제목을 내 걸었다. 이렇게 호기심이 자극 되다니, 나는 이런 생각을 하면서 책을 빼 들었다.
맨 첫 이야기의 구조는 천일야화 중 한 부분 같았다. 1003일째 이야기. 왠지 이 숫자는 천일 야화에 나오지 않을 법하다. 난 천일 야화는 보지 못했지만, 아무래도 여기있는 이야기는 마치 그 뒷이야기라는 듯, 그 형식을 빌려온 듯 하다. 처음 이야기의 제목을 보니... 은자, 구두수선공, 피보나치, 달팽이, 그리고 그 밖의 수많은 것들에 숨겨진 질서와 무질서 이야기라니. 아무리 보아도 부조화적인 제목이라는 생각이 들었다. 과연 이들에 …(생략)

서 보이는 이른바 소용돌이무늬를 그리는 방법에 대하여 많이 궁금했다. 사각형으로 그릴 경우 그저 한바퀴 돌기 이전에 변의 길이를 일정하게 늘려주기만 한다면 충분히 소용돌이 문양 같은 것이 생긴다. 하지만 원형으로 할 경우에는 매 순간마다 조금씩 반지름의 크기를 늘려나가야만 한다. 난 이 문양이 가지고 있는 의미도 궁금했고, 그 그리는 방법도 궁금했었다. 그 정체가 바로 로그 나선이었던 것이다. 로그나선이 뜻하는 바를 생각해 보면 전과 그 전의 값이 영향을 주는 피보나치수열에서 나온 것이기에, 이 나선은 그렇게 주위의 값과 아주 조화로운 관계를 이루며, 이른바 자연 형을 이루게 된 것 같다. 수학에서 이런 자연의 모습을 나타낼 수 있다니. 왠지 기뻐졌다. 그러고 보니 구두수선공과 피보나치수열과의 관계를 말하지 않은 것 같다. 그건 예상외로 단순 하였다. 대부분의 자연현상은 피보나치수열을 따르게 되므로, 인간도 마찬가지라는 것이다. 그의 선조에서부터 자식의 수는 피보나치수열을 따라왔으므로, 그 구두수선공도 자신이 해당하는 피보나치 수인 8명이상은 낳지 못하리라는 것이다. 왠지 믿지는 못 할 것 같지만, 뭐 그러면 어떠한가. 그저 피보나치가 자연에 지대한 영향을 끼치고 있다는 것이 중요한 일인 것이다.
다음에 나온 이야기는 프랙탈에 대하여, 우리 인간의 조물주의 독백으로 이루어져있다. 프랙탈에 대해서는 전에 수업시간에 들어 본적이 있다. 직접 그 모양을 만들어 보기도 하였다. 하지만 이 프랙탈이라는, 왠지 수학적이고 딱딱하기만 해 보이는 것이 이 자연계에 곳곳에 많이 숨어있다고 이 글에서는 말 하고 있다. 프랙탈이라는 것은, 어느 일정한 변형을 계속 해가면서 점점 작은 부분의 변형을 가해가는 모양을 뜻한다. 이런 프랙탈 도형의 아주 작은 부분을 확대해 보면 다시 전체의 모양과 같음을 알 수 있게 된다. 이러한 무한성과 함께, 프랙탈은 유한성도 가지고 있다. 이 글에서 소개하고 있는 코흐 눈송이 곡선만 해도, 길이는 무한이지만 넓이는 유한한 값이 된다! 이는 직관적으로 보일 뿐만 아니라 극한값을 이용한 계산에서도 그렇게 나타난다. 이것 말고도 부피가 0이고 넓이가 무한인 프랙탈 도형도 존재한다. 정말 신기할 나름이다. 게다가 이러한 프랙탈 도형의 특징 덕분에 자연 곳곳에서 발견되는 것이다. 우리 몸만 해도, 제한된 몸이라는 부피 안에 최대의 표면적으로 최대의 능률을 내기 위해서 프랙탈 도형을 택하고 있다. 또 고사리 같은 경우에도 마찬가지 이유로 프랙탈 도형을 띄고 있다. 이 것은 지형의 관측에서도 나타난다. 관측이 정밀해 질수록 해안선의 길이는 계속 늘어나는 것이다. 믿기 힘들지 몰라도, 이는 자연의 선택으로, 말 그대로 자연스러운 것이라 할 수 있다. 정말 이렇게 수많은 프랙탈에 대해서 보면서, 이 자연의 아름다움에 대하여 새삼 느끼게 되었다. 가만히 나두어도 자연은 그냥 자신의 선택으로 자신을 이루어 가고 있는 것이다. 우리 인류가 나타나기 전에도, 프랙탈이라는 이름이 붙여지기 훨씬 이전에도 자연은 이미 그 법칙에 따라 움직이고 있는 것이다.
자연의 질서에 대한 세 번째 이야기, 자연의 우연성에 관한 것이었다. 이것에 대한 내용은 전에 ‘페르마의 마지막 정리’에서 잠시 언급된 것을 본 적이 있다. 우연성의 주요 골자는 바로 초기값과, 나중에 보여주는 값의 커다란 차이이다. 선형구조에서는, 초기값이 약간 차이가 나더라도 그래프 자체의 감률 같은 것은 거의 차이가 없기 때문에 별 문제가 없다. 하지만 자연의 대부분인 비선형구조는 평소에는 무시하는 오차의 아주 작은 차이가 나중에 가면 커다란 차이로 변한다. 이런 자연의 특성으로, 우리는 날씨예측에 어느 정도 한계가 있는 것이다. 지금 자연상태를 오차 없이 관측할 수 있는 것은 아무것도 없기 때문이다. 예측에 대한 문제 말고도 자연에서 일어나는 아주 작은, 나비의 날개 짓 같은 변동이 나중에는 커다란 변화가 되는 경우도 있다. 이것을 카오스 이론이라 한다. 결국 우리가 알 수 있는 것은 아무 것도 없다. 자연 스스로도 알지 못할 것이다. 결국 우리는 이러한 무질서와 우연에 기댄 채로 살아가고 있는 것이다. 하지만 이런 무질서의 자연 속에, 어떠한 질서가 자리 잡고 있다. 이는 수학적인 이성으로는 알 수 없는 것이다. 이것은 그저 마음속으로 느낄 수 밖에 없는, 진정한 자연의 법칙인 것이다.
이렇게 자연에 대한 파트가 끝이 났다. 어쩌다 보니 글들을 모두 하나하나 짚어 가게 되었다. 하지만 내가 생각하기에는 이 모든 글들이 각자 의미를 가지고 있고, 또 모두 흥미가 있었으므로, 앞으로 나오는 5가지 이야기들도 계속 이야기 하겠다.
다음 이야기는 황당하게도 그리스 전설에 나오는 테세우스와 미노타우르스 이야기. 그것도 주제는 현대의 연구주제인 매듭이론과 위상수학에 대한 것이다. 정말 읽다보면 황당한 이야기 이긴 하지만, 머 배경이 황당한 것이 중요한가. 그런 이야기에 수학을 섞어버린 그 상상력과 말솜씨가 중요한 것이다. 테세우스가 그 유명한 실을 가지고 미궁으로 들어가던 중, 실이 중간에 꼬여 버린다. 아무리 해도 풀릴 기세가 보이지 않는데, 갑자기 미노타우르스가 나타난다. 위상수학을 공부해서 논문까지 발표한 미노타우르스와 그의 이야기를 열심히 듣는 영웅 테세우스. 이 이상한 관계에서도 위상수학에 대한 이야기는 잘 펼쳐져 간다. 일단 매듭에 관한 이론, 지금까지 알려진 불변성이라는 것에 초점을 둔다. 매듭의 불변성에는 교점의 개수, 복잡성 등이 있다. 이런 불변성이 같은 매듭이라면, 매듭의 속성을 변화시키지 않는 변형을 주었을 경우, 서로가 서로의 형태로 변할 수 있다. 이런 특성으로 말미암아, 어떠한 매듭이 풀리고 안 풀리고의 문제는, 그 매듭의 불변성이 과연 풀렸을 때의 불변성과 같으냐에 따라 달려있다. 또 이러한 매듭이론 말고도 미노타우르스는 뫼비우스의 띠 같은 겉면과 앞면이 없는 면을 가르쳐 준다. 또 마찬가지로 겉과 속이 없는 클라인 병 같은 것도 소개해 준다. 이런 위상수학은 어떻게 보면 현실 세계와 동 떨어져 보일 것이다. 하지만 꼭 그렇지만도 않다. 위상수학은 말 그대로 기하학에 나오는 도형들의 모양을 일정한 기준에 따라 나눔으로써 그 일반적 특성에 대해 연구하는 것으로써 우리 생각체계를 정리하는 아주 중요한 것이다.
다음 이야기는 칼리프와 불량배들 이야기. 이 글도 천일야화의 형식을 한 글이다. 이 글의 주제는 말 그대로 수수께끼이다. 하지만 바보 같은 말장난에 불과한 다른 수수께끼들과 달리, 여기 나오는 수수께끼들은 생각을 오래해야 하는, 어떤 이상한 논리에 대한 것도 있고, 결국 자기모순에 빠지는 명제들에 대한 것도 있다. 왠지 이런 이야기는 수학에 관련되지 않은 것 같다. 하지만 모든 수학의 골자를 이루는 것이 바로 집합과 명제 같은 이른바 논리이다. 논리 없이는 수학이 없게 되는 것이다. 여기 나오는 문제들은 대부분 유명한 것이어서 아는 것이 많았다. 특히 뒤에 나오는, 자기모순에 빠져버리는 명제에 대한 것은 다른 서적들에도 많이 있는 내용이었다. 이것은 지금까지 우리가 믿고 있던 집합과 명제에 관한 정리가 근본적인 모순을 담고 있다는 것을 나타내준다. 여기서 예를 들고 있는 어떤 법률가와 그의 제자에 관한 이야기는 유명하면서도 꽤나 까다로운 이야기다. 법률가와 그의 제자는 처음 연을 맺으면서, 만일 제자가 첫 소송에서 승소하게 되면 수업료를 받겠노라고 이야기 한다. 그런데 하필이면 제자의 첫 소송이, 그 법률가가 건 것으로써 그 수업료에 관한 것이었다. 여기서 법률가는, 내가 승소하면 결과에 따라 돈을 받게 될 것이고, 패소하더라도 약속에 따라 돈을 받을 것이라 말한다. 그에 대해 제자는, 내가 승소하면 결과에 따라 돈을 지불하지 않아도 되고, 패소하더라도 약속에 따라 돈을 내지 않아도 된다고 주장한다. 과연 누가 맞는 말을 하고 있는 것일까. 답은 바로 둘 다 틀렸다 이다. 여기서 문제가 되는 것은 최초의 약속 때에 첫 소송이라는 개념에 바로 수업료에 관한 소송이 포함되어 있는, 자기 포함의 모순을 가진 것이다. 이렇게 자기 자신을 포함한 채로, 그 집단 전체를 가지고 명제를 만든다면, 그건 모순을 일으킬 가능성이 크다. 크레타인의 거짓말쟁이 역설이나, 이발사의 면도도 같은 문제이다. 요즘에는 이런 상황에서는 자기 자신은 포함하지 않는 등의 방법으로 모순을 해결하고 있다. 이러한 것들을 통틀어 역설이라고 한다. 즉, 일정한 논리학의 기초에 따라 논리를 전개해 나가지만, 결과적으로는 전혀 말이 안 되는 결과가 나오는 것이다.
또 이글의 마지막에 나오는 역설은 아주 유명한 살인집행에 관한 역설이다. 이는 저 유명한 러셀의 역설중 하나로써 잘 알려져 있다. 러셀의 역설은 대부분 풀렸는데, 이 역설만은 아직 모호한 부분이 많아서 연구 중이라고 한다. 다른 역설들은 대부분 수열의 무한한 합을 무조건 발산으로 봐서 생기거나 앞에서처럼 자기 자신을 포함 하는 명제로 이제는 다 해결 되었다. 이 심판관의 역설은 대충 이런 내용이다. 심판관이 사형수에게 이번 주 내에 사형을 하겠다고 하고, 또 이 사형집행일은 사형수가 모를 것이라고 했을 때에 결국 심판관은 사형을 내릴 수 없다는 것이다. 이는 뒤에 이 주의 마지막 날부터 차례대로 논리를 전개하면 얻어지는 결론이다. 결국 이 두 가지 명제를 한꺼번에 성립시키는 것은 불가능한지도 모른다. 그건 언젠가는 밝혀지게 될 것이다.
다소 이야기가 딱딱해진 것 같다. 하지만 조금이라도 흥미를 가지고 바라본다면, 알면 아는 대로 모르면 모르는 대로 그 재미를 느끼게 될 것이다. 다음 파트는 바로 그 수라는 것 자체에 관한 이야기, 수의 마력이다.
수의 마력 첫 번째 이야기는 거대 수에 관한 이야기 이다. 이 이야기는 한 수학 교수가 한 신비로운 외계존재에 의해 버뮤다 삼각지의 뒤틀린 공간 안으로 들어오면서 시작 된다. 정말 시종일관 황당한 배경 들이다. 하지만, 꼭 이런 일이 없다고는 할 수 없는 것이다. 여기에서 교수는 자신들의 암호를 풀지 못하는 외계인들과 호기심을 가진 사람들에게 거대수에 관한 강연을 늘어놓는다. 거대수라, 그게 무슨 마력이 있을 것이다. 거대수란 말 그대로 커다란 수에 지나지 않는대도 말이다. 하지만 여기서 말하고자 하는 것은 단순히 크다는 개념이 아니다. 즉, 아무리 커다란 숫자이어도 그 나름의 의미를 가진 거대수에 대한 것이다. 여기서는 확률론, 정수론 등의 개념에서 계속해서 거대수를 찾아낸다. 확률에서는 작은 숫자에서 경우의 수를 이용해 거대수가 되는 것들을 설명하고 있다. 정수론 에서는 소수들에 대하여, 소수의 성질이나 커다란 소수에 대한 탐색 등을 말하고 있다. 꽤나 흥미로운 내용이지만, 결국 이런 연구의 골자는 암호에 대한 것이다. 암호에 필요한 두 가지 이론이 바로 확률과 소수이고 또 이들은 대부분 아주 커다란 수의 범위에서 이루어 져야 하기 때문이다. 이러한 암호는 현대수학 중 한 분야로써 발달 하고 있으며 또 현대에 이르러 가장 중요한 학문 중 하나가 된 것이다. 암호를 만들기 위해서는 커다란 소수가 여러 개 필요하다. 암호를 만드는 것은 쉽다. 그저 그 소수를 곱하기만 하면 되는 것이다. 하지만 그것을 푸는 것은 상당히 어렵다. 곱해서 나온 수를 소인수 분해를 해야 하는 것이다. 소인수 분해를 하는 메커니즘은 아직 안 알려져 있기도 하고 또 그 큰 소수를 찾는 것도 불가능하기 때문에 시로 가장 효용적인 암호체계라 할 수 있겠다. 내가 암호에 대하여 별 관심이 없기 때문에, 이 이야기는 여기 까지 해야겠다.
다음은 아이작 뉴턴과 7에 관한 이야기. 여기서 우리가 알 수 있는 것은 진정한 수의 마력이다. 아이작 뉴턴이 자기 사촌 누이들에게 접근에 안 되자 생각을 정리할 겸해서 특별한 계산으로 얻어낸 142857을 가지고 소설을 쓴다는, 다소 황당한 내용이다. 하지만 그래서 더욱 수의 신비를 알 수 있는지도 모르겠다. 142857은 1/7의 순환마디 이다. 이 수는 정말로 다양한 특성을 가지고 있는데 그것을 모두 쓰기란 정말 어려운 것이다. 또 우리 인류가 쌓아온 7에 대한 것들도 너무 많아 여기 적기가 힘이 든다. 하지만 이렇게 관련된 내용이 많다는 것 자체가 수 자체에 정말 신비로움이 넘친다는 것을 알 수 있다. 숫자 자체가 어떠한 특성을 가짐과 동시에 상징성을 지니는 것이다. 이런 상징성은 단순한 상징일 수도 있지만 그 숫자적 특성에 관한 상징도 많다. 숫자라는 것은 인간이 생활의 편의를 위해 만들어 낸 것에 불과하다. 하지만 이러한 수가 이렇게까지 아름다운 모습을 나타내는 것에는 어쩌면 이 대자연의 의지가 포함되어 있는 것만 같다.
마지막 이 글의 이야기는 마방진에 대한 것이다. 그것도 우임금에게 직접 그 유명한 낙서를 남긴 거북이가 아이들을 모아놓고 강의를 한다는, 아주 재미있는 상황인 것이다. 여기서는 이러한 마방진의 설계법이라든지 특징, 마방진의 종류 등을 세세하게 설명해 가고 있다. 거기서 나오는 마력, 인간들의 상징성 부여 같은 것까지 다 나와 있다. 이 마방진도 그 자체로써 아름다움이 느껴지는 순수한 수의 열이라고 할 수 있다. 정말 그 단순한 수의 나열에 숨겨져 있는 수많은 뜻에서 또다시 나는 감상에 빠졌다.
이로써 이 책이 다 끝이 났다. 너무 신나서 자세하게 설명하느라 길게 늘어진 것 같다. 하지만 이렇게 설명하고도 나는 아직 할 말이 많이 있다. 난 수학이 좋다. 그렇기 때문에 남도 그 수학의 매력에 빠졌으면 하는 것이다. 지금까지 이야기된 이런 아름다움을 가진 수학이 난 좋은 것이다. 자연의 모양, 형태, 현상들.. 모두 수학으로 설명이 되고 수많은 우연도 수학으로 풀린다. 또 우리가 연구하는 수많은 분야들도 수학으로 그 길이 뚫리는 것이다. 하지만 그 것 말고도 더 주목해야만 할 것은 바로 수학 자체의 아름다움이다. 아까도 말 했듯이 수학은 논리학 없이는 존재할 수 없다. 그 질서 정연한 논리들 중에서 가장 질서정연한 것을 뽑아 정리한 것. 그것이 아마도 수학의 정의가 될 것이다. 질서 정연한 수학. 또 그것을 알아내는 것으로써 그 아름다움을 느끼고 또 자연을 설명해가는 기쁨은 실로 대단한 것이리라 나는 생각한다. 나는 계속 해서 수학을 공부하고 또 연구할 것이다. 지금 읽은 이 책이 그 진로에 조금이라도 영향을 주었다면, 비선형적인 나의 인생은 크게 바뀔 것이다. 하지만 후회할 생각 같은 것은 없다. 어차피 세상이 그런 것 아닐까. 이 책도 내가 읽음으로써 인생이 바뀌었을지도 모른다. 이렇게 오늘도 자연에 숨어있는 질서와 무질서의 공존을 느끼면서 글을 쓴다.