수학도서 - 수학에는 왕도가 있다 수학에는 왕도가

수학에는 왕도가 있다...
수학. 주변의 모든 것들을 "수"로 표현하고 이해해 보려는 학문이다. 불명확하고 불확실한 것들을 질서정연하고 논리정연한 수의 힘을 빌려, 오류와 역설이 없게끔 깔끔하고 아름답게 정리해보려는 게임이다. 진리라는 것을 얻기 위해 수학자들은 숱한 연구와 고민을 하고 또 논쟁을 벌였다. 그렇다면 우리는 이 시점에서 수학 안에 존재하는 어떤 신비한 매력을 알아보고 싶지 않은가? 이는 앞에서 언급한 것처럼, 가장 자명해 보이는 것조차도 이유를 묻고 적절한가 여부를 따지기 때문일 것이다. 수학에서 가장 기본적으로 배우는 1+1=2 라는 사실마저 몇 백 페이지의 논문에 의해 증명했던 것처럼 수학은 엄밀한 것이다.
지은이(이진경)는 현재의 중고교 수학 교과서의 지식을 지닌 사람들이라면 누구든지 쉽게 이해할 수 있게끔 설명함으로써, 철학사와 수학사를 맞물려서 이야기 형식으로 쉽게 풀어가고 있다. 수학…(생략)

겠지만, 먼저 읽고 나서 생각해 보는 게 어떨까?
어떤 마을에 이발사가 있었다. 장사를 잘 하려면 좀 튀어야 한다고 생각한 그는 어느 날 재미있는 생각이 나서 자신의 이발소 앞에 다음과 같은 문구를 달았다. “나는 스스로 면도하지 않는 모든 사람의 면도를 대신 해줍니다.” 재미있는 문구 때문일까? 손님은 늘었고, 들어오는 사람마다 그에 대해 한마디씩 말을 던졌는데... 어느 날 한 손님이 물었다. “그럼 당신 수염은 누가 깎습니까?”
여기서 우리는 이발사가 황당해 하는 모습을 떠올릴 수 있을 것이다. 이발사가 자기 스스로 면도하지 않는다면, 그는 광고문에 써 붙인 사람에 속하므로 그 사람의 면도를 해주어야 한다. 즉, 자기 스스로 면도해야 한다. 반대로 자기 스스로 면도한다면, 그는 광고문구에 있는 사람에서 벗어나므로 그 사람의 면도를 해주면 안 된다. 즉, 그는 스스로 면도를 하면 안 된다. 따라서 그는 스스로 면도할 수도 없고, 스스로 면도하지 않을 수도 없는 난감한 궁지에 빠진 것이 된다.

이 책에서 다루는 수학의 역설이란 참으로도 멋지다. 수학의 생각과 지식을 자유로이 하는 원동력인 셈이다. 수학의 매력은 이처럼 ‘논리’라는 바탕 아래, 바늘 하나 들어갈 틈 없이 완고한 진리로 엮어져 있는 것인데, 저자는 이를 잘 활용하여 흥미진진하게 진행함으로써 더 많은 관심을 불러일으킨다. 수학자들이 무리수를 발견하곤 당황했고 혼란스러웠으며 그것을 숨기려고 했던 사실도 꾸밈없이 적었다. 무한대와 무한소 개념을 이용하여 미분법과 적분법을 발견해 냈지만 "A=~A"라는 도무지 인정할 수 없는 논리를 배제한다면 그 위대한 발견을 사용할 수조차 없었던 점, 또 그뿐인가. 칸토어의 역설과 괴델의 정리, 수학의 역사, 우리가 잘못 알고 있는 수학에 관련된 사실들, "마하수리"를 "사바하"하고자 했던 수학자들의 몽상은 한낱 주문에 그치고야 말았던 점까지 수학사의 아름다운 매력들을 보여준다.

나는 초등학교 때부터 여태껏 다른 친구들에 비해 수학에 많은 관심을 가져왔다. 그럴 때마다 항상 내 곁에 따라다녔던 질문은 “수학을 왜 공부하는가?”였다. 사실, 수학이 타 과학 분야에 비해 순수이론 쪽이기 때문에 응용분야가 많이 개척되지 못한 것은 부인할 수 없는 사실이다. 하지만 18세기 이전까지 저명한 수학자들을 되돌아본다면 대부분의 수학자가 아마추어, 즉 재미삼아 수학을 했던 사람이거나 부업삼아 수학을 했던 사람이라는 것을 굳이 상기할 필요도 없다. 그들에게 있어서는 정말로 “공부를 위한 공부”, “수학을 위한 수학”이었던 것이다. 아마 내가 수학에 매료된 이유도 그것 때문일 것이다. 그렇다고 수학을 전공으로 하고 싶지는 않은가보다. 수학을 그토록 재밌게 여기면서도, 나에게 있어 수학은 ‘도구’로서의 역할을 한다. 사람들이 흔히 말하기를, ‘수학이 과학의 기초’라는데 나도 공감하며 이러한 생각이 나로 하여금 수학을 끈끈이 공부하게 만들어왔다.

어느 한 선생님께서 나에게 물으셨다. “수학에서 수 체계는 어느 정도까지 뻗쳐 나갈 수 있을까?” 선생님의 의견은 복소수 체계로 방정식에 관련되었던 미해결 문제들이 해결되었고, 그 외에 절실한 필요성이 없기에 복소수 체계로 수 체계가 정립될 것이라고 하셨다. 그렇지만 현재도 꾸준히 연구 중이며, 나는 또 다른 수 체계, 즉 실수를 넘어선, 복소수를 넘어선, 수 체계가 언젠가 발견되리라 믿는다. 수학에서의 하나의 진리를 발견한다는 것은 어쩌면 영감을 불러일으키지 못한다면 불가능한 일이다. 게다가 가설을 세웠다고 해도, 한 치의 오차도 허락하지 않는 정리가 성립되기까지는 수많은 수학자들을 거쳐야만 가능하다. 그럼에도 불구하고, 계속적인 발전을 거듭하는 수학이란 학문,,, 우리는 다시 한 번 깊게 고찰해 볼 필요가 있겠다.

이 책을 읽고 나서 아쉬운 점이 있었다면, 의도적으로 수식을 쓰지 않으려고 애를 쓰다보니 수식에 익숙해져 있는 나로서는 차라리 수식을 적당한 자리에 끼워 넣는 것이 내용을 이해하기에 더 수월했으리라는 생각이 든다. 부적절하게, 한참을 돌려가면서 비유하느니, 단 한 줄의 수식이 더 정확하고 강한 메시지를 전해 줄 것이라고 생각한다.
마지막으로 자유롭게 생각할 수 있는 `수학`은 평등의 학문이요, 예술의 학문이요, 실용의 학문이다. 집합의 창시자 `칸토어`가 말했듯이 `수학의 본질은 자유이다.`라는 말에 공감하며, 나는 지금도 저자가 남긴 “수학에는 왕도가 있다.”라는 문구의 의미를 떠올려 보고 있다.

인상 깊은 구절: “수학은 하나의 사고방식이고 삶의 방식이다. 대부분의 철학자들이 수학을 통해서 자신의 새로운 사유를 발전시켰다는 것 역시 수많은 사례로 입증된다.”