수학도서 - 수학의 황제 가우스 가우스

내마음 속의 황제 가우스
도서명 : 수학의 황제 가우스
출판사 : 경문사
지은이 : Tord Hall
나는 처음에 이책을 펼쳤을 때 끝까지 읽을 수 있으리라는 생각을 하지 못했다. 그도 그럴것이 나는 수학과목에 대해서 결코 흥미를 가지고 있지 않았기 때문이다. 중간 중간 대충 훑어 보니 처음보는 공식들과 어려운 설명들로 가득 했기 때문에 나는 정말 끝가지 읽을 자신이 없었다. 숙제를 해결하기 위해 굳은 마음으로 생각을 바꾸고 첫장를 펼쳤다. 생각했던 것 보다는 크게 어렵지는 않았다. 그저 가우스라는 한 위대한 수학자가 걸어온 길을 상세하게 기록해 놓은 전기와 같은 것이었다. 가우스의 혈통과 가정환경에 대해 살펴보는 것으로 이 책은 시작된다. 이 책의 대략적 줄거리에 대해서는 잠시 후에 살펴 보기로 하고, 우선 이 책의 구성에 대해 간단히 언급하고자 한다.
이 책은 대수학,해석학,기하학등…(생략)

평생을 사셨다고 한다. 그의 어머니가 장님이 되자 가우스 자신이외에는 어느 누구도 어머니의 시중을 들지 못하게하였다고 하니 가우스가 얼마만 큼 자신의 어머니에게 애정을 느끼고 진심으로 섬겼는지를 알게 해 주는 대목이라고 하겠다. 가우스는 아주 어렸을 때부터 보기 드문 신동소리를 들었다고 한다. 그가 세살 때 아버지의 부기장부에 있는 계산착오를 지적했다고 하는 이야기는 너무나도 많이 알려진 유명한 일화이다. 또한 가우스가 초등학교에 다니던 열살 때 있었던 일이다. 가우스의 선생님이 학생들을 조용히 시키려고 1에서부터 100까지 덧셈을 하도록 시켰다. 모든 학생들이 1부터 100까지 더하느라고 힘들어 하고 있을 때 가우스는 아주 빠르게 정답만을 제출하였다. 이때 가우스는 등차수열의 합 1+2+3+4...+98+99+100을 단지 100+1=101, 99+2=101, 98+3=101 등등으로 계산하면 50개의 쌍이 나오고 이것은 즉 50×101과 같으므로 정답은 5050이라는 계산을 즉시 할 수 있었던 것이다. 이때 가우스의 선생님은 가우스의 천재성을 알아보고 놀라워 했다고 한다. 가우스의 선생님은 그당시 가장 내용이 충실하다고 평가되는 산술 교과서를 사서 가우스에게 주었는데 이것 역시 가우스가 단숨에 읽고 소화를 하는 것을 보고 가우스를 교육하는 것에 한계를 느낄 정도 였다고 한다. 그 후 선생님의 친구였던 파테르스가 가우스를 교육하기 시작 하였다. 파테르스는 페르디난드 공작에게 가우스를 소개 하였고, 가우스는 페르디난드의 후원을 입어 고등학교와 대학을 마칠 수 있었다.

그가 졸업을 한 후에도 페르디난드 공작은 가우스에게 연금을 지속적으로 지급하여 가우스는 재정적인 어려움 없이 연구를 계속 할 수 있었던 것이다. 그러던 중 1806년에 나폴레옹이 프러시아를 침공하였고, 페르디난드 공작은 프러시아군의 사령관으로써 그와 맞서 전쟁을 하였는데 결국 패하게 되었다. 가우스의 집앞을 그의 후원자였던 페르디난드공작이 중상을 입은 상태로 지나가는 것을 직접 목격하게 된 가우스는 차마 바라볼 수 없을 정도로 슬퍼 했다고 한다. 그러던 중 가우스의 아버지마저 돌아가시게 되고, 졸지에 가우스는 보호자도 없이 재정적 곤란에 빠져 힘들게 생활하게 되었다. 그러던 중 가우스에게 러시아의 페테르부르크학사원이라는 곳에서 초청이 왔지만 주변의 여러 동료 학자들고 선배들이 괴팅겐 천문대장의 자리를 주어 계속 독일에 머무르게 된다. 가우스는 이곳에서 거의 평생동안 연구에 전념할 수 있게 된다.

가우스는 고교시절에 정수론에 대한 연구를 하였고, 또 ‘최소 제곱법’을 발견 하였다. 그는 당시 뉴턴이 저술한 <프린키피아>(자연 철학의 수학적 여러 원리)를 읽고 깊은 인상을 받고 있었다. 가우스는 이때 받은 영향으로 뉴턴을 평생 존경하여 왔다고 한다. 가우스가 19세가 되었을 때 자와 컴퍼스만으로 정17각형을 작도하는 방법을 발견하였는데, 이때부터 가우스로 하여금 수학의 세계에 헌신하겠다는 결단을 내리게한 동기가 되었다. 가우스는 자신이 발견한 수학적 이론을 과학 일기에 기록하였다. 이 일기장은 가우스가 세상을 떠난 지 43년 이후에야 학계에서 알게 되었다고 한다. 가우스의 이 일기장은 연구과정이 없이 그 결과만을 간단히 기록해 놓았기 때문에 후배 학자들이 해독을 하기 위해 많은 노격을 해야만 했다. 결국 그 중 두 개는 풀지 못하고 나머지 146개만 간신히 해독을 하였다고 한다. 학계에서는 이러한 사실을 가우스가 당시의 학계수준 보다 무려 1세기 정도는 앞섰다는 것을 증명해 주는 것이라고 평하고 있다.

가우스는 자신이 연구하여 얻어진 결과물을 쉽게 학계에 공표하는 것을 싫어 했다. 학자들은 그것을 가우스의 완전주의사상에 기인한 것으로 여기고 있다. 설사 발표하게 되더라도 결과만을 간단하게 발표할 뿐 그 과정에 대해서는 역시 상세한 설명이 없었기에 당시의 학자들은 그의 발표에 대해 상당히 어려워했다고 한다.
가우스는 정수론에도 심취해 있었는데 `수학은 과학의 여왕이고, 정수론은 수학의 여왕이다.`라는 말로서 정수론을 극찬했다. 가우스는 <대수학의 기본 정리>라는 논제를 가지고 연구하여 박사학위를 받았다. 이 논문은 모든 대수방정식이 그 차수와 같은 수의 근을 가진다는 것을 밝힌 것이었다. 1801년에는 <정수론 연구>라는 책을 출판하였다. 정수론은 가우스가 가장 높이 평가한 연구 분야이기도 했다.
또 가우스는 천문학, 측지학, 전자기학 등의 실질학문에도 관심을 가지고 있었다. 케레스라는 행성을 가지고 그것이 어떤 주기로 어떤 위치에 다시 나타나는지를 수학적으로 계산해 내는 일을 하다가 관심을 가지게 되었다고 한다. 결국 그가 연구하여 예언했던 위치에서 케레스행성이 발견 됨으로써 가우스는 이쪽 방면에도 능력을 인정받아 더욱 이름을 떨치게 되었다.

가우스는 1805년에 결혼을 하였지만 행복하지는 못했다. 결혼한지 4년만에 부인과 사별하고 세명의 자식만 남았다. 그러나 이듬해 가우스는 재혼을 하여 안정을 되찾게 된다.

가우스는 측량이나 자기측량의 기초를 구축하기도 하였다. 이때 그의 측량과 관련한 방대한 데이터는 그가 고교시절에 발견한 최소제곱법이 많은 도움이 되었다고 한다. 이러한 지식을 기초로 곡면 기하학에 대하여도 업적을 남겼다. 곡면 기하학에 그가 도입한 중요한 생각은 ‘곡률’이었다. 반지름이 작으면 작을수록 곡선은 급속히 굽어지고, 이 점에서의 곡률은 커지게 된다. 면의 곡률도 이와 거의 같은 방식으로 정의된다. 가우스는 곡면 위의 한 점 부근의 측정만으로 곡면의 곡률이 결정된다는 것을 밝혀 내었던 것이다. 이 곡면 기하학과 관련되어 가우스는 비유클리드 기하학도 연구하였다. 이외에도 헤아릴 수 없는 그의 연구 업적이 있지만 모두 언급할 수는 없고 여러 업적중 4차수에 대해서 조금 더 알아보는 것으로 그의 업적에 관한 정리를 마감하고자 한다. 4차수는 간단히 말해 a×b=b×a라는 곱셈의 교환율이 성립되지 않는 수를 말한다. 이 수는 우리의 현실세계와는 무관한 것처럼 인식 되었었지만 결국은 미분 기하학의 경우와 마찬가지로 이것도 역시 현실 세계와 밀접한 관련이 있다는 것이 밝혀지게 되었다. ‘양자 역학’에서 이러한 물리량에 관심이 집중되게 된 것이었다.

나는 이 책 즉 가우스의 일대기를 성장과정과 업적중심으로 기록해 놓은 이 책을 읽으면서 천부적인 가우스의 수학적 능력에 줄곧 감탄사를 연발 하였다. 내가 수학에 대해 어려워하고 문외한인 것이 더욱 그러한 생각을 하게 했다고 볼 수도 있지만, 그러한 것을 차치하고라도 역시 가우스는 대단한 인물이었슴이 분명하다는 것을 누구도 부정할 수는 없을 것이다. 그런데도 가우스는 자신을 낮추고 겸손한 말로써 그의 천재성에 대해 우쭐해 하지 않는다. 그가 스스로의 천재성에 대해 남긴 한마디를 인용해 보겠다. “어떠한 사람이라도 나처럼 깊이, 또 부단히 수학적 진리에 몰두하면 그들도 마찬가지의 일을 할 수 있다.” 이 말은 누구든지 열심히 한우물만 파면 그 쪽 방면에 남보다 우수한 능력을 발휘 할 수 있다는 뜻으로서 자신의 천재성이 천부적이라기 보다는 노력에 의해 이루어졌음을 한마디로 함축하여 표현한 것으로 볼 수 있다. 실제로 가우스는 어려운 환경 속에서도 주변의 여러 도움을 받으며 꾸준히 노력하여 왔음을 그의 일기를 통해 짐작 해 볼 수 있다.

나는 이 책을 읽고 인간의 두뇌가 정말 무한한 가능성을 가진 미처 표현할 수 없는 대단한 것이라는 생각을 다시 한 번 하게 되었다. 물론 가우스의 마지막 말처럼 반드시 노력이 뒷받침 되어야 한다는 것은 분명하지만 말이다. 수학에 대해 문외한인 나는 이번에 가우스에 관한 책을 읽고 수학에 대해 다시 한 번 되돌아 보는 계기가 되었다. 숫자에 대해서도 거부감을 느끼지 않게 되었으며, 각종의 공식과 원리가 나오면 가우스의 연구하고 노력하는 모습이 먼저 떠오를 것 같다. 수학에 대해 친근감을 가지게 되는 아주 좋은 기회 였다. 앞으로는 가오스 이외에 다른 수학자들에 대해 쓰여진 책들도 많이 읽어 수학에 대해 좀 더 한발짝 다가서려는 노력을 하여야겠다고 결심해 본다. 어쨌든 어렵게만 느껴졌던 이 책을 끝까지 읽게 되어 너무나도 기쁘다. 갑자기 수학선생님이 존경스러워 진다.