수학도서 - 아르키미데스 아르키메데스

아르키메데스’를 읽고...
저는 아리스토텔레스와 아르키메데스의 전기를 읽었습니다. 사실 책을 구하기가 너무 힘들었었습니다. 수학자는 전기로 나온 책이 거의 없기 때문입니다. 이 둘중 제가 관심있어하는 아르키메데스에 대한 감상문을 쓸 생각입니다. 사실 저는 전부터 아르티메데스에게 관심이 많았습니다. 우선 ‘부력의 원리’로 왕관이 금인지 가짜인지 밝혀내면서 옷벗은 채로 밖에서 “유레카”라고 소리친 일은 누구나 다 아는 사실일 것입니다. 저는 처음 아르키메데스에 대해서 들은 것은 학원에서 원과 같은 도형들을 배울 때 학원 선생님이 아르키메데스의 죽음에 대해 들은 적이 있었고 그 얘기를 듣고 아르키메데스에게 관심이 많아졌었습니다. 그래서 아르키메데스에 대한 서적을 찾아보려 했지만 쉽지는 않았습니다. 아르키메데스이 죽음은 참으로 인상깊었습니다. 아르키메데스는 원기둥에 내접하는 구를 그려 원기둥과 구의 부피…(생략)

다. 세상의 모슨 일을 ‘수학’을 기본으로 하여 생각하고 있던 피타고하스에게는 무리수란 용서할 수 없는 존재였다. 이밖에도 정오각형을 그리는 법과 악기의 음과 수의 관계라근가 ‘짝수’와 ‘홀수’를 발견하였다. 이렇게 탈레스와 피고라스에 의하여 시작된 도형의 연수는 그리스에서 점점 번져 나갔습니다. 당시 수학연수를 정라한 유클리드의 <기하학 원론>이 아주 크게 소용되었었고 이때 아르키메데스로 영향을 받았었다.
이제 아르키메데스이 이야기가 시작됩니다.아르키메데스는 기원전 287년경에 태어나 알렉산드리아의 프톨레마이오스가 창립한 학교에서 배운 후에 자기가 태어난 고향인 시칠리아 섬에 정주하고 있었습니다. 당시 시칠리아 섬을 지배하고 있던 헤론 왕은 아르키메데스의 재능을 인정하고 존경하고 있었기 때문에 무슨 일이 생기면 아르키메데스에게 의논하고 했었다. 한편 아르키메데스도 임금의 주문에 따라 여러 가지 발명품을 만들었던 것이다. 이때 헤론 완이 아르키메데스에게 한가지 부탁을 하게 된 것이다. 새로 만든 황금 왕관에 은이 섞여 있는 것이 아닌가 하는 생각을 하는 바람에 아르키메데스를 그것을 증명하기 위해 큰 고민에 빠지고 말게 되었다. 아르키메데스를 목욕을 하면서 여러 가지 생각하기를 좋아했었다고 한다. 그러가다 목욕을 하는데 물이 흘러 나가는 것이다. 이때 아르키메데스가 깨달은 듯 하다. 목욕탕에는 물이 가득 들어 있었는데 거기에 그가 들어갔다. 당연히 물은 넘쳐 흐른다. 넘친 물의 양은 목욕통에 들어간 사람의 부피와 같을 거라 생각하게 된 것이다. 정말 지혜롭고 너무 머리가 좋고 너무 기발한 생각을 한 것 같다. 지금 보면 너무 간단하지만 그때는 얼마나 그것을 알아내는게 막막했을지 상상이 간다. 이때 아르키메데스는 “유레카”라고 소리치며 목욕하다 말고 옷벗은 체로 뛰쳐 나왔다고 한다. 이것을 알아낸 것이 얼마나 기뻤을까? 정말 부럽다. 그 순간이 얼마나 보람되었을까? 정말 그 순간에 그는 모든 것을 다 가진 듯한 마음이었을 것이다.
또 흥미로운 사실이있다. 아르키메데스가 를 발견했다는 사실이다. 이것을 알아내는데 원에 외접하는 다각형의 둘레 길이를 구하기도 하고, 원에 내접하는 다각형의 둘레 길이도 구하고..정말 귀찮고 복잡한 것이다. 그런데 뉴턴의 미적분법과 방법이 비슷하다는 말도 있었다.
아르키메데스가 하나의 정리(공리와 겅의를 바탕으로 하여 이미 진리임이 증명된 일반적인 명제)에 어떻게 해서 도달했는지에 대해선 그다지 알려져 있지 않다. 그러나 그에 대한 사고의 방법은 책 속에 남겨져 있다. 아르키메데스는 어떤 수학 문제를 생각할 때면 먼저 역학으로 그 단서를 잡았다고 한다. 즉, 어떤 사물을 기계적인 방법으로 밝혀 냈다는 뜻이다. 하지만 이 방법으로 생각하면 실제로 증명이 되지는 않는다. 그래서 나중에 아르키메데스는 기하학으로 증명을 하지 않으면 안되었다. 이처럼 아르키메데스는 항상 ‘정리를 실증하는 발견’에 접근하는 방법과 ‘정리의 증명’을 확실히 구분하였다.였다. 말은 복잡해서 이해하기 힘들지만 예를 들면 좀더 이해하기 쉬워진다. 예를 들어서 ‘구의 부피’를 구해본다고 생각해 보면 똑같은 재질로 만든 똑같은 지름과 높이의 원기둥과 구를 준비했다고 생각한다. 각각 무게를 저울로 잰면 원기둥이 당연히 무겁다. 그러면 원기둥 3에 대하여 구는 2라는 부피의 비가 얻어졌다. 그러므로 구의 부피는 1 : 하는 식으로 생각해 나간다. 아르키메데스의 ‘정리의 증명’에 대하여 이런 에피소드가 있다. 일찍이 데모크리토스느 원뿔의 부피는 밑면과 높이가 밭은 원기둥의 부피가 1/3 이라는 것을 발견했다. 하지만 정리를 증명하지 않고 발표한 것이다. 그래서 아르키메데스는 이것을 증명하려 하였지만 원의 면적이 로 나타애서지는 무리수인 것이다. 그는 아무리 해도 정확한 수치를 내기란 불가능하다는 것을 알았다. 그러나 한없이 가까운 숫자를 낼 수는 있었다. 이때 아르키메데스가 원의 면적을 구하기 위해 사용한 것이 유명한 ‘끝까지 나누는 법’이라 불리는 방법이다. 이러한 것 이외에도 아르키메데스는 밝혀낸 것이 많다. 아키메데스는 잘못된 증명을 고치기도 하며 새로운 원리도 구하는 등 수학에 많은 공헌을 세웠다. 나는 아르키메데스의 포기하지 않는 근성과 한가지를 하면 계속하려고 하는 그가 본받고 싶다.