수학도서 - 페르마 마지막 정리 페르마의 마지막 정리

<페르마의 마지막 정리>

1.페르마의 마지막 정리란 무엇인가요? 무엇이 마지막이라는 것인가요?

n 이 2 보다 큰 자연수일 때, 방정식
xn + yn = zn
을 만족하는 양의 정수 x, y, z 는 존재하지 않는다.
이것이 페르마의 마지막 정리(Fermat`s last theorem) 의 내용입니다. 페르마(Pierre de Fermat) 는 자기가 발견한 것들을 발표하지 않고 다른 사람과 주고 받은 편지에 쓰거나, 책의 여백에 적어 놓곤 했습니다. 페르마가 죽은 뒤 그의 아들이 부친의 업적을 정리해 발표했는데 페르마의 마지막 정리는 디오판토스(Diophatos) 의 책 `산술(Arithmetica)` 의 여백에 적혀 있었다고 합니다. 페르마는 이 내용을 1630년 경에 썼다고 알려져 있습니다. 이 정리 옆에는 또 "나는 정말 놀라운 증명 방법을 발견했다. 하지만 이 여백이 좁아서 증명을 쓸 수가 없다." 라고 적혀 있었습니다. 페르마가 이런 식으로 써 놓은 다…(생략)

2.페르마의 마지막 정리가 무엇 때문에 중요한가요?

3.그렇게 많은 수학자가 오랫동안 증명하지 못했다면, 정말 페르마가 증명을 발견했던 것일까요?

4.무엇 때문에 그렇게도 증명하기 어려운가요?

(1) x, y, z 중 어느 것도 n 의 배수가 아닐 때

(2) x, y, z 중 하나만이 n 의 배수일 때

5.와일즈는 어떤 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명했나요?

6.페르마의 정리에 상금이 걸려있었다는데...

에 대해서는 다른 사람들과 주고 받은 편지에 `이 문제를 풀어 보라` 는 식으로 써 놓았기 때문입니다. 그런데 이 문제에 대해서는 n 이 3 또는 4 일 때에 대해서만 언급이 있을 뿐 (이 경우에 대해서는 확실히 증명 방법을 알고 있었던 것 같습니다.) 일반적인 n 에 대한 정리는 다시는 언급되지 않았습니다.
4.무엇 때문에 그렇게도 증명하기 어려운가요?
원래부터 어렵다기보다는 사람들이 그것을 증명하기 위한 방법을 못 찾았다고 해야 할 것입니다. 지금도, 오래 전부터 사람들이 시도했지만 풀리지 않은 문제가 많이 있습니다. 간략하게 이 페르마의 마지막 정리에 대해 사람들이 어떤 노력을 해서 어떤 발전이 있었는지 알아 보겠습니다. 페르마 자신은 `직각삼각형의 넓이는 제곱수가 될 수 없다" 즉, x, y, z 가 정수일 때 x2 + y2 = z2 이면, xy/2 는 제곱수가 될 수 없다는 것을 증명했습니다. (페르마가 남긴 글 중 증명이라고는 이것 하나 뿐입니다.) 이것을 사용하면 n 이 4 일 경우는 증명이 됩니다. 그러고 나면, n 이 홀수인 소수일 경우만을 증명하면 된다는 것이 밝혀집니다. 1753년, 오일러(Leonhard Euler)는 자신이 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 주장했으나 그 증명에는 오류가 있었습니다.
제르맹(Sophie Germain) 은 페르마의 마지막 정리를 두 경우, 즉
(1) x, y, z 중 어느 것도 n 의 배수가 아닐 때
(2) x, y, z 중 하나만이 n 의 배수일 때
로 나눌 수 있다는 것을 밝히고 100 이하의 n 에 대해 경우 (1)을 증명했습니다.
르장드르(Legendre) 는 제르맹의 방법을 확장하여 197 이하의 n 에 대해 경우 (1)을 증명했습니다. 1825년, 디리클레(Dirichlet) 가 n=5 에 대해 경우 (2)를 증명함으로써 n=5 인 경우의 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다. 1832년, 디리클레가 n=14 인 경우의 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다. 물론, 이것은 n=7 인 경우를 증명하면 자연히 증명되지만, n=7 인 경우는 증명하지 못했던 것입니다. 1839년, 라메(Lamé)가 n=7 인 경우를 증명했습니다. 그 증명은 너무나 복잡해서 무슨 새로운 접근을 하지 않는 한 더 큰 n 에 대해 증명하는 것은 불가능할 것으로 보였습니다. 1847년, 라메는 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 파리 아카데미에 밝혔습니다. 그러나 쿠머(Kummer) 에 의해 37, 59, 67 등의 특수한 경우에는 그 증명을 적용할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그 뒤, 쿠머, 미리마노프(Mirimanoff), 비퍼리히(Wieferich), 푸르트뱅글러(Furtwängler), 판디버(Vandiver) 등이 이 특수한 경우들을 하나씩 증명해 냈습니다. 그러나 1915년 옌센(Jensen) 에 의해 이런 특수한 경우들은 무한히 존재한다는 것이 밝혀졌습니다. 그래도 쿠머가 사용했던 방법은 이후 계속 적용되었고, 컴퓨터의 도움을 받아 1993년까지 n 이 40000 이하인 경우는 페르마의 마지막 정리가 참이라는 것이 밝혀졌습니다. 1983년, 폴팅즈(Gerd Faltings) 는, n>2 일 때 xn + yn = zn 인 정수는 많아 봐야 유한개라는, 크게 발전된 결과를 내놓았습니다. 그러나 그 "유한개" 라는 것이 모든 n 에 대해 0 이 된다는 결과는 아무래도 나올 것 같지 않았습니다. 마침내, 프린스턴 대학의 와일즈(Andrew Wiles)가 1993년 6월 21일, 22일, 23일에 영국 아이잭 뉴턴 연구소에서 강의하면서 시무라-다니야마-바일의 추측의 일부를 증명하고, 그것을 적용하여 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다. 그러나 12월 4일, 와일즈는 증명에 문제가 있다며 발표를 철회했고, 이듬해인 1994년 Richard Taylor 와 함께 그 문제를 해결하려고 시도했습니다. 그리고 1994년 10월 6일, 와일즈는 세 명의 다른 수학자에게 전해의 증명보다 더 간단해진 새로운 증명을 보내 왔고, 페르마의 마지막 정리는 증명되었습니다.
5.와일즈는 어떤 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명했나요?
1955년, 다니야마(Yutaka Taniyama) 는 타원함수, 즉 y2 = x3 + ax + b 꼴의 함수에 대해 어떤 문제를 제기했습니다. 시무라(Shimura) 와 바일(Weil) 은 이 문제를 더 연구하여 하나의 "추측" 을 제기했고 그것은 시무라-다니야마-바일의 추측이라고 불립니다. 그런데 1984년, 프라이(Gerhard Frey) 는 페르마의 마지막 정리와 시무라-다니야마-바일의 추측이 서로 관계가 있음을 밝혔고, 1986년에는 리벳(Ken Ribet) 에 의해, 페르마의 정리에 반례가 있다면 시무라-다니야마-바일의 추측에도 반례가 생긴다는 것이 증명되었습니다. 즉, 시무라-다니야마-바일의 추측만 증명하면, 페르마의 마지막 정리가 증명되는 것입니다. 이것으로 페르마의 마지막 정리는 단순히 호기심을 불러일으키는 문제에서, 공간의 기본적인 성질에 관계된 문제로 탈바꿈했습니다. 와일즈(Andrew Wiles) 가 한 일은, 시무라-다니야마-바일의 추측을, 어떤 일부의 경우에 대해서 증명한 것입니다. 그것으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데는 충분했던 것입니다.
6.페르마의 정리에 상금이 걸려있었다는데...
1908년, 파울 볼프스켄(Paul Wolfsken) 의 유지에 따라 괴팅엔 왕립과학원은 2007년 9월 13일을 기한으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게 10만 마르크의 상금을 걸었습니다. 이것은 페르마의 마지막 정리에 수많은 사람이 달려들어 잘못된 증명을 쏟아내게하는 한편, 대중에게 이 문제를 널리 알리는 계기가 되었습니다. 1997년 6월 27일, 와일즈는 이 상금을 받았습니다