수학도서 - 소설처럼 아름다운 수학이야기 읽고나서

??소설처럼 아름다운 수학 이야기??를 읽고
이 책은 지은이가 초등학교 수학 시간 때 시간의 60진법을 어려워 해 선생님께 뺨을 맞고 수학에 겁을 먹다가 그것을 극복하는 과정을 쓴 글이다. 이 책을 읽다보면 중간 중간에 교과서에 나왔던 증명이 나오기도 하고 아직 배우지 않은 미적분 학의 기초까지 나와있고 문제가 나와있기도 하다.
지은이는 다른 사람들이 생각하기에는 이상한 취미인 수학문제 풀기를 다른 취미들인 것과 다르지 않게 했다고 한다. 머리가 복잡해지거나 그럴 때 수학 문제를 풀었다고 한다.
제 2장으로 넘어가면 수학자들 소개가 나오기 전에 우리 일상에 수학이 정말로 필요 없을까 에 다한 답이 나와있다. 함수도 우리 주변서 보면 접시 모양으로 생긴 파라볼라 안테나에서 찾아 볼 수가 있다. 그전엔 안테나가 그냥 그려러니 하고 생겼다고 생각했는데 이 책을 읽고 나서 이차함수의 기본식인 y=ax2 이라는 걸…(생략)

어서 유명하기도 하다. 이 밖에도 이등변 삼각형의 밑변이 같다는 것과 삼각형의 SAS합동, ASA합동 등은 탈레스 때 정리되었다고 한다. 이런 면에서 탈레스는 다재다능한 수학자라고 생각한다 천문학에서 수학, 상인 또 철학자까지 했다고 한다. 전기에 대한 연구까지 했다고 하니 정말로 그 시대의 만능 엔터테이너먼트 였던것 같다.
피타고라스는 피타고라스의 정리로 유명하다 a2×b2=c2 이 공식은 사회 생활 할 때도 영원히 기억에 남을 것 같다. 피타고라스는 올림픽에 나가서 권투 챔피언까지 한 이상한 경력을 가지고 있다. 수학자에 권투선수. 전혀 연상 안 되는 두 직업을 했다니 머리와 몸까지 바쳐주는 완벽한 인물인 것 같다. 피타고라스는 고향에서 학교를 세웠으나 나중에는 그리스 항구도시 크로톤 에서 학교를 세웠다고 한다. 여기서 사이비 단체 수준인 피타고라스 학파를 이루게 된다. 피타고라스 학파는 가슴에다 황금분할로 그려진 별을 자랑스럽게 달고 다녔다 . 피타고라스 학파는 자기 학파 안의 일을 외부에 알릴 수 없고 어기면 무서운 벌이 있었다고 한다. 피타고라스 학파는 자연을 수와 연관시키고 음악까지도 수학적으로 해석해 음악을 연주했다고 하니 수학에 빠진 사람들만이 피타고라스 학파에 들어 갈 수 있었던 것 같다. 이런 피타고라스 학파도 테러를 당해 피타고라스는 메타폰툼 에서 죽고 피타고라스 학파는 뿔뿔이 흩어졌으나 2세기 동안 지하 조직으로 있었다 한다. 피타고라스 학파의 무서움을 보여주는 예가 자연수만 알고 있었던 피타고라스 학파가 피타고라스 학파중 한 명인 히파수스가 무리수가 있음을 피타고라스 정리로 발견해 그를 물 속에 처넣고 말았다 한다.
유클리드는 ??유클리드 호제법??하면서 한 번 본 것 같다. 유클리드의 ??기하학 원론??이 성서 다음으로 베스트 셀러라 하는데 링컨이나 파스칼, 뉴턴도 이 책을 읽었다고 한다. 사실 유클리드의 ??기하학 원론??은 원본이 내려오지 않고 1482년에 인쇄 됐다고 한다. 모두 13권이고 465개의 정리가 있다고 한다. 내용을 보면 √2가 무리수임을 증명하는 것도 있고 그 당시 기하학의 기초들을 모두 정리되어 있고 컴퍼스에 의한 작도도 중요하게 다루고 있다고 한다. 끝 부분에는 모든 만물의 근원을 불, 공기, 물, 흙으로 놓고 그걸 정다면체와 연관 시켰다. 18, 19세기 들어오면서 ??기하학 원론??이 잘못 되었다고 증명하는 사람도 있었다. 예를 들면 구에 삼각형을 그리면 삼각형은 휘고 내각의 합은 180도를 넘을 수도 있다. 그러나 2,000년이 지난 지금도 유클리드 기하학은 모든 기하학의 기초가 되었다.
아르키메데스는 우리에게 히레온 왕이 아르키메데스를 시켜 왕관에 은이 섞여 있는지 알아보라고 했는데 며칠을 고생하다 목욕탕에 들어가면서 부력의 법칙을 알고선 발가벗고??유레카!????유레카!??를 외쳤던 사람으로 알려져 있다. 아르키메데스가 살던 시칠리아의 시라쿠사는 로마가 한참 전쟁으로 영토를 침략을 받았는데 아르키메데스가 개발한 무기들로 침략을 막았다고 한다. 그러나 결국엔 로마 군사에 죽임을 당하고 한다. 어떤 사람들은 이것 때문에 우리들이 한 세기 뒤쳐져 산다고 하니 그가 얼마나 대단한 인물인지 알 수 있게 해 준다. 아르키메데스는 구의 부피와 원기둥의 표면적을 증명해 냈다. 또 수2내용인 미적분 학의 기초가 되는 착출법을 생각해 내기도 한다.
카르다노는 잘 알지 못하던 수학자이었다. 그는 기이한 인물로 알려져 있는데 출생부터 그 사실을 알 수가 있다. 유부남인 변호사 아버지와 창녀 사이에서 태어났는데 임신 기간동안 유산시키려고 별짓을 다했다고 한다. 결국 태어났지만 몸은 허약하고 정신은 메말라 있었다. 탈장이나 위액을 토하는 일은 기본인데 이런 고통을 즐겼다니 정말 이상한 사람이다. 그러나 무당에 가까운 예지능력을 가져서 점성술사도 했다고 한다. 카르다노는 꿈에서 본 여자와 결혼을 하였는데 산적의 딸이라고 한다. 카르다노는 결혼하고 노름에 빠져서 돈을 다 잃기도 하고 31세의 나이에 아내가 죽는다 그의 아들은 부도덕한 여자를 만났는데 하는 짓이 방탕했다. 결국 아들의 가슴에 원한을 품게 했고 결국 남편에게 살해되었다. 그 때문에 카르다노의 아들은 형장의 이슬로 사라졌다. 자신이 1576년 9월 20일날 죽을 것을 예언하고 그 날의 예언을 실천하기 위하여 9월 20일 자살하고 만다. 그는 수학 10-가 에 나오는 삼차 방정식의 해법을 제시하는 수학사의 길이 남을 업적을 남겼다. 그 때의 삼차방정식 해법은 기하학 적으로 직육면체를 이용하였다고 한다. 그리고 또 삼차 방정식을 연구하며 허수에 대한 생각을 했다는 것이다.
케플러는 내가 알기론 천문학자로 알고 있었는데 수학자이기도 하였다. 그는 4살 때 천연두로 왼쪽 눈의 시력을 거의 잃고 허약 체질로 살았다고 한다. 수학자들은 피타고라스만 빼고 허약 체질로 살았나 보다. 그는 가난과 고통의 삶을 보냈지만 천문학과 수학 연구에 몰두했다. 그 시기에 세상은 코페르니쿠스의 발표 때문에 세상이 변했다. 그 때 갈릴레이도 있었는데 갈릴레이는 화려한 학자로 살았지만 케플러는 그러지 못했다. 천문학에 몰두하다 케플러의 법칙을 만들어 내었다. 제 1법칙은 행성은 태양을 주위로 타원을 돈다 이고 제 2법칙은 같은 시간 동안 행성과 태양의 선분이 만드는 넓이가 서로 같게 운행된다 이었고 제 3법칙은 행성의 1주기의 제곱은 태양과 그 행성의 평균 거리의 제곱에 비례한다 이었다. 이것은 코페르니쿠스의 발견을 수학적으로 뒷받침 해주는 것이다.
데카르트는 다른 수학자들과 달리 좋은 환경에서 살았다고 한다. 그는 누워서 공상을 자주 했다고 한다. 그이 아이디어인 좌표도 누워 있던 중 파리가 날아다니는걸 보면서 생각해 냈다고 한다. 철학 쪽에도 관심이 많았다고 한다. 데카르트의 업적중 하나는 음수의 영역을 인정했다고 하는 것이다. 그가 수학에 끼친 영양은 엄청나다. 흔히 미지수를 나타낼 때 쓰는 a, b, c 나 x, y, z 같은 거나 +와 - 도 데카르트의 작품이다. 그는 기하학을 대수적으로 처리하는 과정서 방정식을 좌표 평면 위에 그리고 이것이 함수로 확장된다. 이것이 해석기하학이다. 해석기하학은 고대 수학과 근대 수학을 결합시키는 다리 역할을 하는 중대한 일을 하였다.
페르마는 언젠가 한번 본 듯한 페르마의 정리에서 본 것 같다. n이 2보다 클 때 xn+yn=zn를 만족하는 자연수 x, y, z 는 존재하지 않는다는 정리. 그는 이 글의 지은이와 같이 수학을 취미 수준에서 즐겼다고 한다. 페르마는 친구에게 편지를 보내며 기록을 남겼는데 극대, 극소, 무한에 대한 개념을 말하고 페르마때 와서 미분, 적분이 체계화되었다고 한다. 페르마의 정리는 약 1993년도에 프린스턴 대학의 교수 와일스가 증명해 냈는데 거의 책 한 권 분량이라고 한다. 그의 학문적 동료 중에는 파스칼이 있었다. 파스칼도 페르마와 같이 수학을 취미 삼았다. 파스칼은 계산기를 만든 사람으로 널리 알려져 있다. 파스칼은 어릴 때부터 혼자 종이 접기를 통해서 삼각형의 내각의 합이 180도 임을 증명하였다. 아버지는 이러한 파스칼의 모습을 보고 기하학 원론을 읽게 하였다. 16살 때 ??원뿔곡선시론?? 이란 논문을 발표하였다. 그 논문을 아무도 16세의 소녀가 했다고 믿으려 하지 않았다. 그 중 파스칼의 정리가 있는데 우선 원뿔곡선은 원뿔을 아무렇게나 잘랐을 때 나오는 곡선을 말한다. 이 원뿔 곡선에 내접하는 한 육각형의 대변의 교점들은 동일한 직선 상에 있다. 라고 하는 것이 파스칼의 정리이다. 파스칼은 또 ??파스칼의 삼각형?? 이라는 것을 만들어 냈는데 그것을 통해 고차방정식의 풀이까지 가능하게 되었다.
뉴턴은 사과 하나로 유명해진 학자다. 뉴턴때 와서 미분과 적분이 활짝 펴게 되었다. 학자 중에 드물게 부와 명예를 모두 갖추었다. 뉴턴은 어릴 때 싸움에 져서 육체적으로 이길 수 없자 정신적으로 이겨 보자라는 생각으로 공부 한 것이 그를 유명한 학자로 만들었다. 뉴턴은 미분을 할 때 유율법 이라는 것을 썼다. 연속적으로 변화하는 흐름의 속도를 나타내는 것이라 하는데 왠지 인문계를 선택한 나와는 거리가 멀어 보였다. 그의 경쟁자 라이프니츠는 비슷한 시기에 미적분 방정식 풀이법을 발견해 논쟁이 많았다. 라이프니츠의 업적중 제일 큰 것은 적분의 기호인 ??∫??만들었다는 것이다. 적분의 의미대로 무한들을 합한다 해서 sum중 s를 길게 늘린 것이 저 기호이다. 또 라이프니츠는 0과 1로만 된 이진법을 생각했다는 것이다. 이 이진법은 동양의 사상을 받아들인 것이라 한다. 0과 1, 음과 양으로.
오일러는 일생의 반이 공부고 그 나머지는 문학 활동에 투자했다. 이 정도로 살아서 오른쪽 눈의 시력을 잃고 왼쪽 눈도 시력이 잃을 것 을 알고 눈을 감고 쓰는 연습을 해 완전히 실명되었을 때도 17년 간 계속 연구와 저작 활동을 하였다. 오일러는 어릴 때부터 신동으로 불렸고 결혼해서 13명의 자녀를 두고 따뜻한 성격의 소유자이면서 가족을 사랑했다. 평생 500권을 썼는데 50년 동안 활동을 했다고 하면 1년에 10편 한 달에 1편 꼴로 세상을 보낸 것이니 그의 열정이 대단함을 알 수가 있다. 오일러는 수학자들 중에 드물게 계산이 뛰어났고 기억력도 뛰어났다. 오죽하면 그를 잘 아는 사람이 계산하는 것 을 보고 ??사람이 숨쉬는 것처럼, 독수리가 하늘을 춤추며 날아다니는 것처럼??이라고 했을까.
3장으로 넘어가면 계속되었던 수학자 소개가 끝나고 수학을 취미 삼는 법이 나와 있다.
지은이는 굼벵이 기질이 있다고 하면서 전생에 나무늘보나 코알라 이었는지도 모른다고 한다. 어릴 때는 열심히 공부했다고 하나 대학 들어서면서 가족들로부터 옛날엔 저러지 않았는데 이런 소리를 들었다고 한다. 뭐든지 미루었다. 휴일이나 방학 때는 집 안에 있고 낮잠이나 책 읽고 하면서 살다가 장편소설을 쓰고 등단되었으나 대학을 졸업하고 나서는 완전히 굼벵이 생활을 하게 되었다. 이러다 취미에 몰두하면서 이런 생활을 탈피했다고 한다. 그중 수학이 떠올랐다 한다. 대학 시절때 과외 일자리를 주고 무료함을 달래주던 수학. 그것을 취미 삼기 시작했던 것이다. 요즘도 집중 안되거나 그럴 때는 수학문제집을 5분 동안 푼다고 한다. 이러다가 중학 과정을 다 마치게 되었고 학원 강사로까지 취직하게 되었다. 학원 강사 생활을 하면서 시간이 없다는 말은 거짓말로 변했다. 오후부터 일이 시작되지만 밤늦게 까지 일하다 보면 체력이 다 빠진다 한다. 한 달 간 그래 오다가 점점 익숙해지자 낮 시간을 활용하기 시작하였다고 한다.
수학을 취미 삼으려면 수학 공부를 열심히 해야 하는 것은 아니다. 감수성이 풍부해 하기 위해서는 책을 읽어야 한다고 한다. 수학을 취미 삼으려고 하는데 웬 책? 하겠지만 상상력과 창의력이 풍부해야 한다고 한다. 영화 관람과 콘서트를 즐기는 것도 좋다고 한다. 또 음악도 클래식 음악이나 그런걸 들어야 한다고 한다. 그 다음에는 몰입을 위한 공간을 만들어야 한다. 책상은 커다란 것일 수록 좋고 책상 위 는 항상 청결하게 유지해야 한다. 이런 몰입의 공간은 패스트푸드점 2층이나 도시의 벤치들, 카페, 빈 강의실이나 사무실 등등 많다. 달리는 기차 안도 좋다고 한다니 우리 주변서 몰입 할 수 없는 공간은 없는 것 같다.
수학 공부를 하는데 문제 푸는 것은 중요한 일이다. 그 양은 많을 수록 좋다고 한다. 그리고 취미로 하는 수학은 자기가 재미있어 하는 부분부터 해야한다. 맨 앞에 나와있는 차례대로 하는 것이 아니라 자기가 하고싶은 곳부터 계획을 새워서 해야 한다. 마라톤을 예로 들면 처음부터 무리하게 42.195㎞ 뛰는 것이 아니라 서서히 천천히 해야한다. 수학도 마찬가지로 낮은 곳부터 시작해야 한다. 수학이 즐거워지려면 노트를 효율적으로 써야한다. 두꺼운 것도 필요 없다. 그냥 500원 짜리 노트. 문방구에서 파는 노트. 그것이면 충분하다. 우선 그 노트를 반으로 접는다 수학 계산은 옆으로 길게 하는 것이 아니고 세로로 내려 써야 한다고 한다. 그런 식으로 쓰면 수학 실력을 체계적으로 늘리는데 도움이 된다고 한다. 두 번째로는 노트 맨 위에다가 그날그날 날짜를 적는 것이다. 그것은 나중에 보면 지적 연구의 산물이면 소장품이며 전리품이며 역사가 된다고 한다. 세 번째로는 문제를 풀다가 다른 문제와 섞이지 않도록 하는 것이다. 한 줄씩 띄어서 다시 풀기 시작해야 한다. 또 문제를 많이 풀면 풀수록 좋다고 한다. 노트는 무한한 자유 공간이므로 줄에 상관없이 풀어도 된다. 낙서해도 상관없다. 이렇게 하다보면 들어보기만 한 미적분학도 편하게 풀 수 있는 날이 온다고 하니 나도 수학문제를 풀 때에는 체계적으로 정리하고 다른 식들과 섞이지 않도록 해야 겠다.
수학을 취미 삼으려면 남이 다 풀고 설명해 주기만 바라는 습관을 버려야 한다고 한다. 스스로 한번 풀고 질문을 해야지 풀 수 있는 문제인데 질문을 하면 수학 실력이 늘지 않는다. 그리고 손을 부지런히 움직여 줘야 한다. 멍하니 책만 보고있지 말고. 그리고 그림을 이용해 보면 의외로 수학문제가 쉽게 풀릴 수 있다고 한다. 연립 부등식이나 이런 것들도 그림을 그리지 않고 하면 종종 실수로 틀리는 경우가 있다고 한다. 나도 그렇지만. 그리고 함수가 어렵다거나 방정식을 풀기 싫어해서 풀어보지 않는 습관은 버려야 한다. 의외로 그 분야가 좋아질 수 있다. 또 시험 때가 되어야 벼락치기를 하면 안 된다. 이건 내가 시험 준비를 하면서 수학이나 영어를 보며 느끼는 부분이기도 하다. 또 수를 정확히 쓰지 않고 대충 흘겨 쓰는 경우가 있다. 이러다 보면 사소한 실수 하나로 문제가 틀리는 경우가 생긴다. 이 책의 마지막 부분에는 지은이가 10대들에게 보내는 글이 있다. 어른들이 항상 하는 말인 후회 없는 시간을 보내라는 것과 더 열심히 공부하고 더 많은 책을 읽고 친구들을 많이 사귀라는 것. 그리고 자기 자신을 사랑하라고 하면서 책이 마무리된다.
이 책을 읽으면서 잘 알려진 아르키메데스나 피타고라스 수학자 이외에 잘 알려지지 않는 카르다노 같은 수학자도 알 수 가 있었고 나의 수학공부 하는데 문제점도 발견할 수 있었다. 당장 내일부터 이러한 문제점을 고쳐야 겠다는 생각이 들었다.