수학도서 - 수학클리닉 독후감 수학클리닉

수학 클리닉
이 책을 읽게 된 동기는 수학 숙제를 하기 위해서 이기도 하고, 또 이 책에 흥미를 느꼈기 때문에, 이 책을 읽게 되었다.
웬만한 학생도 계산 문제는 잘 푼다. 그러나 대부분의 학생들이 문장제(응용문제)가 되면 아주 간단한 문제라도 전혀 손을 못 대며, 심지어 곱셈문제인가요?, 나눗셈 문제인가요? 하고 물으면서 문장 속의 수치만을 적당히 짜맞추어서 계산하고 덤빈다. 이것은 계산 문제를 기계적으로 풀이하는 훈련만을 해왔기 때문이다. 글을 못 읽는 것도 아니고, 문장이 문법적으로 어려운 것도 아닌데 문맥을 파악하지 못해 문제의 의미를 알지 못하는 것이다.
문장제를 싫어하는 것은, 한마디로 생각하는 일이 귀찮기 때문이다. 계산이라면, 손만 움직이면 저절로 답이 나오는데, 응용 문제는 보통의 글을 식으로 고쳐야 하고 그러고 나서도 계산을 해야 하기 때문에 문제만 봐도 머리가 아파진다는 것이다. 그러…(생략)

수 있다. 즉 미숙한 학생들은 문자는 단어를 읽는 아래 단계의 기능은 되어 있지만 문장의 의미를 파악하는 상위 단계의 기능은 아직 형성되어 있지 않기 때문에 입으로는 읽지만 머리로는 그 의미를 파악할 수 없는 것이다.
두뇌 훈련이 잘 된 사람은 문장 전체의 의미를 파악하는 최상위 단계의 기능까지 형성되어 있으나, 미숙한 학생은 문장 전제를 파악하는 기능이 잘 형성되어 있지 않기에 계산식을 세우지 못한 것이다.
이것은 마치 군사 작전에서 적군의 동향을 파악하는 최전방의 병사가 적군 한 사람 한 사람의 움직임에 대해서는 인식하고 판단할 수 있어도, 적군 전체의 동향을 판단하지는 못하는 것과 같다. 적군 한 사람 한 사람, 소부대의 이동 등은 속임수일 수도 있다. 결국 적군 전체의 동향을 판단하는 것은 이런 모든 정보가 총체적으로 수집되고 분석되는 최고 사령부의 몫인 것이다. 전체를 관망하기 위한 수학의 효과적인 학습법은 이 최고 참모부에 해당하는 부분을 확실히 갖추어 두는 일이다.
일단 수학에 낙오가 되었다 하더라도 마음만 먹으면 단시일 내에 회복할 수 있다. 방법은 간단하다. 순서를 지키면서 공부하면 되는 것이다. 그러니 결코 포기해서는 안 된다. 오히려 그것이 인생을 바꾸는 둘도 없는 좋은 기회라고 생각해 보라. 그러면 모든 것이 달라진다. 필자는 낙오된 학생이 스스로 초등학교 수학에서 시작해 단시일 내에 남 못지 않은 실력을 갖추었다는 이야기를 자주 듣는다. 그런 경우의 학습은 수학을 재정비한 결과이므로, 오히려 보통의 학생들보다 훨씬 자신감 있게 공부할 수 있다. 개인이 아닌 국가의 경우도 마찬가지이다. 한국은 얼마 전까지만 해도 후진국이었다. 그것을 벗어나려는 노력으로 선진국의 대열에 끼게 된 것과 마찬가지 이치이다.
자신감의 상실 못지 않게 수학 공부에서 가장 나쁜 것은 과장된 억지를 부리는 일이다. “나는 머리가 좋은데, 나는 중학교 3학년인데, 나는 줄곧 모두로부터 칭찬을 받아 왔는데…….”하며 스스로의 약점, 다시 말해서 수학의 계단을 잘못 밟아 온 사실에 눈감아 버리면 안 된다. 이차함수를 이해하지 못한다면 그 이전의 단계인 방정식의 계산, 인수분해, 문자식의 의미 등에 대해 다시 거꾸로 되밟아 가는 것이 필요하다.
교과서에 있는 내용은 모두 필요한 것임에는 틀림없다. 하지만 약점을 보완하기 위해서는 교과서 전부를 처음부터 학습할 필요는 없다. 하나의 단원, 이를테면 이차함수에 통달하기 위해서라면 당장에는 기하, 확률 등의 지식을 직접적으로 상관이 없다. 우선 한 가지 목표에 대해서 그 기초 단계부터 파악하고 그것을 집중적으로 공부한다. 이를 테면 적에게 완전히 포위된 상황에서는 정면의 적에게만 관심을 모아 집중적으로 공격하는 것과도 같다.
고등학교, 대학교에 올라가면서 수학 체계는 더욱더 복잡해진다. 하지만 수학이 어렵다는 학생의 50% 이상은 초등학교 교과서의 내용도 모르고 있는 실정이다. 초등학교 교과서를 다시 공부한다 해서 자존심이 상할 필요는 없다.
실력이 없으면서 무턱대고 하루 종일 책상 앞에 앉아 교과서며 참고서 등을 두서없이 이것저것 뒤적이는 것은 오히려 시간과 정력의 낭비이다.
그러면 뒤진 진도를 되찾는 방법이 실제로 있는가? 있다! 뿐만 아니라 앞서간 사람들보다 실력을 갖추는 확실한 방법이 있다. 그것은 다음과 같이 하면 된다.
첫째로, 일단 교과서의 내용을 처음부터 마지막까지 대강 훑어본다. 마치 이야기책을 읽는 기분으로 말이다. 그러다가 어려운 표현이나 이해 안 되는 대목이 나오면, 밑줄 표시를 하고 그냥 넘어간다.
간혹 <예제>중에서 쉽게 이해되는 것들이 눈에 띄면 다루어 본다. 그 중에서 충분히 이해할 수 있는 것들에는 표시를 해둔다. 이것은 우선 전체의 윤곽을 파악하기 위해서이다.
둘째로, 다시 교과서를 처음부터 펼치면서 특히 밑줄을 그었던 부분에 주의해서 읽어 나간다. 이번에는 <예제>를 빠짐없이 다룬다. 교과서의 설명이나 예제중에서 이해가 안 되는 대목이 있으면 이해할 수 있을 때까지 몇 번이고 시도해 본다. 느긋한 마음으로 말이다. 교과서의 설명이나 예제는 누구나가 이해할 수 있도록 되어있다. 그러니까, 이해가 안 되는 대목이 있다 하면, 그것은 여러분이 무엇인가 잘못 생각하고 있는 것이다. 다급하게 덤비지 말고, ‘이건 쉬운 건데…….’를 몇 번이고 되뇌면서 관점을 바꾸고 천천히 생각해 본다.
셋째로, 이렇게 해서 예제의 풀이를 모두 이해했으면 어디라도 가서 실컷 외쳐 보아라. “난 이제 자신이 있다!”고 말이다. 실제로 이쯤 되면, 수학에 자신을 가져도 된다. 자신감이 생기면 수학에 대한 재미가 생기고, 그러다 보면 이 쾌감 때문에 문제를 자꾸 풀어 보고 싶어진다. 이 자신감이야말로, 어떤 어려움 속에서도 여러분의 공부를 떠받쳐 줄 엄청난 힘이 된다.
넷째로, 이번에는 문제를 중심으로 생각하는 차례이다. 문제를 푸는 열쇠는 예제속에 들어 있기 마련이다. 그러니까, 겉보기는 아무리 헐하게 생겼다 하여도 사실은 이미 다룬 내용들인 셈이다. 하긴 진작 다루었던 예제속에 열쇠가 있을 수 도 있다. 따라서, 기억을 더듬어서, 이미 익힌 예제들을 이것저것 생각해 보기도 해야 한다. 요컨대, 보물찾기는 퍼즐 게임처럼 숨겨진 열쇠를 찾으면 되는 것이다. 문제를 풀다가 막히면 머리를 식히기 위해 음악을 틀면서 머리를 쉬게 한다.
다섯째로, 그래도 잘 풀리지 않는 숙제로 아껴 두었다가 목욕할 때, 잠자리에 들 때, 길을 걸을 때나 지하철이나 버스를 탈 때, 어디에서 막히고 어디를 애매한 상태로 두었는지 떠올려 본다. 느긋하게 마음을 가라앉히고 있을 때 의외로 멋진 아이디어가 떠오를 수 있다.
여섯째로, 이런 걱정을 하는 사람도 있을 것이다. 그렇잖아도 진도가 늦어 있는데, 더구나 거북이 걸음으로 공부하다가 남들과의 거리가 자꾸자꾸 멀어지고 마는 게 아닐까 하고 말이다. 그런 조바심은 내지 않아도 된다. 일단 이해가 되면 가속도가 붙어서 그후론 얼른 따라잡을 수 있다. 학교 공부란 으레 그런 것이다. 다급한 김에 호들갑을 떨다간 오히려 돌이킬 수 없는 처지가 되고 만다. 그냥 빨리빨리 해치우려다가 공부는 도로아미타불이 되고 만다는 이야기이다. 불안이나 걱정은 머리의 활동을 정지시켜 버린다는것을 명심해야 한다.
나는 이 부분을 일고서는 수학을 잘 하기 위해서는 우선 머리가 맑아야 한다는 것을 알았다. 그렇기 때문에, 잘 풀리지 않는 문제는 앞에서 말한 것처럼 해 보야겠다는 생각을 받았다.
이 밖에도 나는 이러한 수학의 아름다움에 대해서 생각해 보았다.
첫째, 수학은 정확한 답이 있다는 것에서 아름다움이 있다. 다른 과목 중에 국어는 딱 답이 하나만 있는 것이 아니다. 그래서 답이 정답과 달라도 뜻이 같다면 다 맞게 해준다. 하지만 수학은 정확한 답이 있다. 그것이 다른 아이들에게는 오히려 해가 될지도 모른다. 하지만 내가 생각하기로는 정확한 답이 있는 것이 다른 과목보다 훨씬 더 재미있게 해준다. 국어 같은 경우에는 생각을 많이 해봐야 답이 나온다. 그렇다고 또 수학도 생각을 안 한다는 것은 아니다. 하지만 수학 같은 경우에는 공식만 재대로 알고 또 그 공식을 적절히 사용 할 수 있는 응용력만 있다면 더욱더 재미있고 쉬운 것이 수학이다. 사람은 수학을 푸는 데 크게 두 가지 종류의 사람이 있는 것 같다. 하나는 공식만 알고 풀어서 응용력이 없는 사람과 또 하나는 수학을 하나의 놀이로 생각하면서 기쁘게 푸는 사람들이다. 나는 두 번째에 해당하는 것 같은데, 아무튼 수학은 정확히 답이 있다는 것이 하나의 장점이다.
둘 째, 수학은 우리의 일상 생활에서 밀접한 관계가 있다. 하나의 예로, 우리는 어디에서든지 물건을 사고 팔 때, 계산을 하게 된다. ‘사과 10개는 얼마예요?’라고 할 때에도 계산을 하게 된다. 이처럼 우리는 알게 모르게 일상 생활에서 수학을 사용하고 있는데, 그것이 수학의 아름다움인 것 같다. 만약에 수학이 없었다고 가정해 볼 때, 우리는 더하기, 빼기, 곱셈, 나누기 등의 기초적인 계산에서부터 방정식, 제곱근 등의 어려운 문제도 풀 수 없게 될 것이다. 하지만 사람들은 그것들도 모르고 수학이 너무 추상적이라는 이야기들도 하고, 또 문제 푸는 것들도 귀찮다고 한다. 그러나 나는 이러한 이야기들을 생각해 볼 때, 수학의 아름다움에 우리의 일상 생활에서 밀접한 관계가 있는 것을 들 수 있다. 그렇기 때문에, 우리의 일상 생활에서 수학을 사용하고 있다는 것은 정말 좋은 일이다.
마지막으로, 수학의 아름다움은 첫 번 째와 비슷한 것인데, 문제를 푼다는 것에서 아름다움을 느낄 수 있다. 보통 위대한 수학자들이나 수학을 조금이라도 한다는 사람들은 어려운 문제를 풀기 위해서 몇 일, 몇 개월, 몇 년 동안 그 문제만 잡고 생각하고 연구하고, 푼다고 한다. 어떤 때는 수학이 풀리지 않을 때에는 짜증도 나지만, 그 문제가 풀리면 새로운 것을 알았다는 것에서 즐거움, 또 잘 풀리지 않는 문제가 갑자기 풀렸을 때의 느낌은 말로 다 설명할 수 없다. 나도 그런 적이 많다. 수학시간에나 집에서 어려운 문제를 풀 때에 ‘어떻게 이 문제를 풀까?’라고 생각하며 연구를 한 적이 많다. 그 때에는 ‘밥 먹어라!’라는 소리도 신경 쓰이지 않을 것처럼, 정말 그 문제에만 신경을 쓰게 된다. 그리고 그 문제를 풀었을 때, 정말 다른 때보다 기분이 최상으로 좋아진다. 옛날에 그리스의 철학자 아리스토텔레스라는 사람이 금의 무게를 재기 위해, 목욕탕에 갔다가 알아서, 알았다는 기쁨 때문에 옷도 않 입고, 밖으로 나와서 소리를 질렀다고 한다. 물론 여기서는 수학의 문제가 아니지만, 그 점과 생각해 볼 때, 역시 그 기쁨을 말로 표현할 수 없다.
이처럼 수학의 아름다움에는 여러 가지가 있다. 내가 앞에서 말한 3가지 외에도 더욱더 많이 있을 것이다.
이것이 이 책에 나와있는 주요 내용 들이다. 이 책에는 이런 내요 말고도 수학에 대한 공포증 등이 있는 사람들을 위해서 많은 진단법과 치료법 등을 저술해 났다.
또한 이 책에는 수학을 배우는 데 있어서의 마음가짐, 또 수학의 여러가지 공식들을 적어놓았는데, 나는 이런 것을 읽고서는 단지 수학에는 따분함 등등만 있지 않다는 것 을 알았다.
그렇기 때문에 우리는 수학에 대해서 좀더 깊이 생각해 봐야 할 것이다.