수학도서 - 재미있는 수학여행을 읽고 재미있는 수학여행

♥ 역사 속의 기하학
기하학(물건의 모양?크기?위치(位置)에 관한 진리를 연구하는 수학의 한 부분.)이 유크레이데스(유클리 드 : 고대 그리스의 수학자. <유클리드 기하학>의 대성자.)에 의해 세련된 모양으로 꾸며지기 이전에도 수 많은 기하학적 지식이 있었다. 특히 이집트의 토지 측량, 피라미드의 건설엔 상당히 높은 수준의 토지 측량. (이집트와 희랍의 기하학)
왜 그런 현실적인 지식이 학문으로서의 기하학으로 승리되어야만 했는가를 알아본다.
◆ 이집트의 기하학과 그리스의 기하학
세계 4대 문명의 하나인 이집트 문명이 나일강 유역에서 일어난 것은 여러분도 잘 안다.
아프리카 내부의 깊숙한 골짜기로부터 시작하여 사막을 누비며 흐르는 이 나일강은 해마다 상류 지방 눈이 녹을 무렵에 엄청난 양의 물이 흘러 하류 일대의 유역에 범람한다.
이 엄청난 양의 물은 상류 지방의 비옥한 흙을 함께 날…(생략)

1. ‘자와 컴퍼스 만으로 각의 3등분`

2. ‘주어진 원과 똑같은 넓이를 갖는 정사각형`

3. ‘주어진 입방체의 꼭 2배가 되는 입방체`

다는 것을 경험을 통해 일찍부터 알고 있었으며, 이 사실을 이용하여 땅 위에 지각을 그었다고 함. 이것 은 대단히 중요한 의미를 담고 있다. 오두막 같은 집을 짓는 건 모르지만 대형 건조물을 세울 때, 만일 직각을 만드는 방법을 모른다면...
이처럼 이집트인은 과거의 경험 중에서 생활에 보탬이 되는 바람직한 결과를 끌어내어 긴요한 지식으 로 이용할 줄 알았다. 경험에서 얻은 지식을 미래의 행동을 위해 이용하려는 태도가 과학적인 생각의 첫걸음이다.
그러나 유감스럽게도 이집트인들이 경험을 통해 애써 모은 지식은 한 마디로 토막 지식. 그들은 오랜 경험에 의하여 생활에 도움되는 많은 지식을 모으나, 이들 지식은 체계 있게 정리된 것이 아니었다.
하나 하나를 따지면 아주 쓸모 있는 것이나, 전체로서는 통일되어 있지 않은 지식들을 정리하여, `과 학`이라는 이름에 어울리는, 짜임새 있는 것은 지중해를 사이에 두고 이집트와 맞은 편에 위치해 있는 그리스 사람.
그리스하면 탈레스, 피타고라스, 플라톤, 유클레이데스, 아르키메데스 등의 이름이 얼른 머리에 떠오른 다. 이 중에서도 가장 선배격인 탈레스, 피타고라스 등은 젊었을 때에 이집트와 메소포타미아로 건너가, 그 곳에서 많은 지식 쌓음.
그리스인은 이집트의 토막 지식을 이론적으로 통일시키기 위한 노력을 함.
탈레스는 이것을 훌륭하게 실현시킨 최초의 그리스인.
그는 이러한 지식을 단순히 경험을 통해 알아낸 것이 아니라, 정리로서 `증명`하는데 성공하였다. a,b,c라는 변의 길이 사이에
a2 + b2 = c2 의 관계가 있으면, 변 c에 맞서는 각이 직각이 되는 것이 아닐까 하고 생각하였다. 여기서 `피타고라스의 정리`는 태어났다고 한다.
이것처럼 명확한 지식을 체계적으로 엮어서 새로운 명제(정리)를 얻는 발판으로 삼은 것이 그리스인들 이 수학(기하학)을 연구하는 방법이었다고 한다. 그 그들은 수학에서의 명제란, 누구나 군말 없이 승복 하는 설득력을 지녀야 한다고 믿었다.(실제로 천재 아니면 못함.)
그리스가 민주주의의 훌륭한 역사를 가졌던 것도 그 때문이다. 좀 어려운 표현을 쓰면, 그리스인은 혼 자 생각 안 하고 대화를 통해서 여러 사람들과 함께 생각하는 습관이 있었다고 할 수 있다.
내 주장을 한두 사람도 아니고 모든 사람이 납득하도록, 주먹. 권력을 사용하지 않고 공평한 처지에서 상대방의 동의를 얻기 위해서는 그에 어울리는 대화의 방법이 필요하다.
◆ 피라미드의 비밀 -첫째 비밀=피라미드의 설계자는 원주율을 몰랐다?!
옛 이집트인들은 길이를 잴 때 수레를 사용했을 것이라는 그럴듯한 추측이 있다. 수레를 회전시키고, 그것이 몇 회전하였는가를 보고 길이를 구했을 것이라는 짐작이 그것이다. 물론 수레를 사용하여 길이 를 재는 그림이 남아 있어서 이같은 추측을 하게된 것은 아니다. 또 그런 수레 같은 것이 발견 된 것도 아니다. 어디까지나 하나의 추측이지만, 이야기를 들어보면 아주 그럴 듯...
-둘째 비밀=가장 튼튼한 경사도를 가진 피라미드
꼭지점과 밑면의 중심을 통과하고 그 1변에 평행인 평면으로 피라미드를 둘로 나누면, 절단 부분은 이 등변삼각형이 된다. 이것의 밑각을 각도기로 재어보면 약 51도쯤 된다.
알고 보면 이 51도라는 각에 아주 중요한 의미가 담겨 있다는데...피라미드는 되도록 높아야 한다. 그러 나 철근으로 만들어진 파리의 에펠탑과는 달리 돌로 된 피라미드는 경사가 너무 급하면 무너지기 쉽다. 물론 납작한 피라미드란 생각할 수도 없다. 안전성과 높이를 조절하며 쌓기 위해서는 이 경사가 가장 알맞다고 한다.
그 사실은 실험? 해보면 알 것이다.
잘 건조되 가는 모래를 탁자 위에 조금씩 흘리면 모래산이 점점 높이 쌓인다. 가장 높이 쌓여졌을 때 원뿔꼴을 한 이 산의 기울기는 약 51도쯔음. 여기서 알아두어야 할 것은 자연적으로 만들어지는 형태는 가장 안전성이 있다는 사실이다.
◆ 탈레스의 반원
고대 이집트에 피라미드가 세워진 것은 기원전 2800년쯤의 일이라고 하는데, 이러한 대규모의 구조물 을 짓기 위해서는 고도로 발달된 측정 기술이 필요.
측량술이 발달하기 위해서는 평행선의 작도라든지 직각의 작도 등을 비롯하여 도형에 관한 여러 가지 기본적인 지식이 쌓여져야 한다. 이집트인은 이러한 훌륭한 기술을 지니면서도 "왜 그렇게 되는가?"라 는 `왜`를 따지는 일은 없었다.(왜?)
한편 이 뛰어난 측량술을 수입한 당시의 후진국 그리스에서는 사람들이 오히려 따지기를 좋아하는 민 족성 탓으로 `왜`라고 묻기를 계속... 탈레스는 일일이 조사하지 않고도 지름 위의 모든 원주각이 직각 이라는 것을 확인시켜 주는 아주 멋진 방법을 찾아냈다. 그 방법이란?
‘대표`와 반원둘레 위의 점의 `대표`로써 무수히 많은 경우를 단번에 처리하는 것이었다. 이와 같이 무 수히 많은 것을 낱낱이 조사하지 안고도 단 하나의 `대표`만을 가지고 문제를 해결하는 방법을 터득하면 얼핏 대답할 수 없는 것 같이 보이는 문제에 대해서도 해답을 얻을 수 있게 된다고 한다.(우리 머리론 ?)
◆ 수학의 3대 난문
1. ‘자와 컴퍼스 만으로 각의 3등분`
2. ‘주어진 원과 똑같은 넓이를 갖는 정사각형`
3. ‘주어진 입방체의 꼭 2배가 되는 입방체`
※ 기타 : 아르키메데스의 죽음
아르키메데스는 그의 모국 시라쿠사가 로마의 침략을 받고 적군이 노도처럼 침범해 왔다. 이때 아르키메데스는 땅에 원을 그리며 생각에 잠겨 있었다. 이 때, 로마의 병사 하나가 뛰어들어 그가 모래판에 그려놓은 도형을 밟고 지나가려 하자 아르키메데스가"이 그림을 밟지 마라!"고 호통을 쳤다. 무식한 병사가 이 위대한 과학자의 마음을 헤아릴 턱 없지. 욕설과 동시에 전쟁에 지친 병 사는 그대로 아르키메데스를 쫙. 이래서 아르키메데스는 생을 마감