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재미있는 수학여행
■ 우리 주변에 있는 큰수 ■
우리 주변에는 엄청난 크기의 수가 우리들의 주변에 있다.
예를 들면 1㎥마다 27000000000000000000개나 포함되어 있는 “분자”라고 불리는 미립자의 집합이 그것이다. 또 실제로 지구의 표면적은 육지와 바다를 합쳐 5억㎢가 되는데 이것을 ㎡로 고치면 500000000000000㎡, 27000000000000000000을 이 수로 나누면 54000이 된다. 즉 이것은 분자의 갯수와 같은 수의 사람이 지구상에 살려면 1㎡땅에 5만 명 이상의 사람이 살아야 한다는 것을 뜻한다.
또 우리 혈액에는 적혈구가 있는데 적혈구는 1㎣ 용적의 핏방울 속에는 500만 개나 들어 있다. 계산해보면 5000000 × 3000000 = 15000000000000개. 그러니까 15조 개의 적혈구가 있는 셈이다.
■ 거듭제곱이 만든 수 ■
거듭제곱을하면 뜻하지않은 엄청나게 큰 수가 된다. 여기에 관한 재미있는 이야기가 있다.
어…(생략)
정리1. 어떤 무한집합도 한 개의 가산집합을 포함한다.
정리2. 하나의 가산집합에 유한개의 원소를 덧붙여도 역시 가산집합이다.
정리3. 두 개의 가산집합을 합쳐서 만들어지는 집합은 역시 하나의 가산집합이다.
정리4. 정수의 집합은 가산집합이다.
정리5. 가산개의 가산집합을 합쳐도 역시 가산집합이다.
정리6. 모든 유리수의 집은 가산집합이다.
정리7. 모든 실수의 집합은 가산집합이 아니다.
1) 먼저 선두의 패를 넘어뜨린다.
2) 어느 패도 그것이 넘어지면 뒤에 있는패가 넘어지는 위치에 있도록 한다.
채 못된다.
예전에 중국과 우리나라에서는 막대나 주판을 사용하였고, 서양에서는 손가락을 사용해서 계산하였다. 예를들어 6×8을 계산할때는 다음과 같이 계산하였다
6=5+1, 8=5+3
이기 때문에 왼쪽손가락은 1개 오른쪽 손가락을 3개 꼽는다.
1+3=4 …… (1)
이것은 답의 십자리수, 즉 40을 나타낸다. 다음에는 굽히지 않고 펴 놓았던 왼쪽 손가락 4개와 오른쪽 손가락 2개를 곱하여
4×2=8 …… (2)
이것은 답의 일자리의 수이다. 결국 답은 (1), (2)로부터 48이다. 우리는 구구단을 알기 때문에 “육팔은 사십팔”이라고 대답할 수 있지만, 중세 시대에는 이같은 구구단을 아는 사람은 대단한 학자들뿐이였기 때문에 일반사람은 이런식으로 계산을 했다.
■ 고마운 기호의 역할 ■
수학을 아예 “기호의 학문”이라고 부르는 사람도 있을 정도로 수학에서는 기호를 중요시한다. 예전부터 기호가 쓰였던 것은 아니다. 수학이 발달하면서 그만큼 많은 기호, 편리한 약속이 쓰이게 되었다. 또 한편으로는 편리한 기호의 발명이 수학의 발전을 촉진시킨 일도 있다.
“5에 어떤 수를 더하고 그것을 2배하였더니 100이 되었다. 그 수를 구하여라.”
라는 문제가 주어진다면, 우리는 (5+χ)×2=100 이라는 식을 세워 여기서 χ의 값을 찾아 낼 것이다. 그러나 아라비아 숫자라든지, ( ), +, =, χ 등의 기호를 가지고 있지 앉았던 옛날 사람들은 이러한 문제를 푸는 데 쩔쩔 맺다는데 지금은 많이 편리해졌다.
■ 개념의 내포*외연 ■
원래, “외연”이니 “내포”니 하는 말은 철학(형식논리학)에서 쓰이는 용어이며, 예를 들어 모든 개에게 공통인 성질을 “개”라는 개념의 내포, 그리고 낱낱의 개 전체의 모임을 외연이라 하여 구별해서 쓴 것이다. 이것이 수학에서까지 쓰이게 된 이유는 “집합”에서는 이 개념들이 꼭 필요하기 떄문이다.
직각삼각형이라는 개념은
첫째, 3개의 선분에 의해서 둘러싸여 있다.
둘째, 평면도형이다.
셋째, 한 각이 직각이다.
라는 공통의 성질를 갖고 있다. 이 공통의 성질이 “직각삼각형”이라는 개념의 내포이다.
이처럼 개념의 내포가 정해지면, 덩달아 어느범위까지의 삼각형이 이 개념에 포함되는가, 그러니까 그 내포에 알맞은 삼각형의 집합이 정해진다. 이 집합이 곧 “직각삼각형”이라는 개념의 외연인 것이다.
■ 컴퓨터 사회와 수의 소외 ■
어떤 일을 기억하고 처리하는데 컴퓨터가 뛰어한 능력을 지니고 있다는 거사은 이미 널리 알려지고 있다. 최근에는 방 안에 앉아서 쇼핑을 즐길 수 있게 되었다. 심지어 어떤나라에서는 전화 한 통으로 복잡한 계산을 척척 대신해 주는 서비스까지 생겼다고 한다. 이러다가우리 학생들조차 전화로 숙제를 하는 세상이 오지 않을까 걱정이다.
지금까지 흔히 계산을 훈련으로 간주해 왔지만, 컴퓨터 시대에는 이것을 “계산 방법의 이해”로 바꾸는 머리의 회전이 특히 중요하다. 거듭 말하지만, 문제는 “훈련”보다도 “이해, 그리고 그 이해를 일상화 는 데에 있다. 컴퓨터를 사용할 때에는 이러한 생각을 다시 한번 머리에 떠올릴 필요가 있다.
요즘의 사회를 “정보화 사회”라고 한다. 컴퓨터를 통해서 필요한 정보를 수시로 단숨에 입수할 수 있는 세상이기 때문이다. 이러한 사회에 살기 위해서는 무엇보다도 계산의 이해와 일상화가 필요하다.
■ 수학과 탐정 ■
수학은 어렵고 딱딱하다. 그러나 오랫동안 골몰한 어려운 문제가 해결되었을 때 느끼는 즐거움 때문에 일단 취미를 붙이면 떨어질 수 없는게 수학이다.
지금은 수학을 싫어해도 탐정 영화나 추리 소설을 좋아한다면 충분히 수학에 취미를 붙일 수 있다.
탐정 소설에도 도중에는 여러 가지 중요한 해결의 실마리가 타나나서 동자들로 하여금 그 때마다 자기 나름의 해석을 내리게 한다. 이렇게 해서 우리가 주위 기피에 이야기의 줄거리를 더듬어가기만 하면 마지막까지 읽지 않아도 스스로의 힘으로 완전히 해결할 수도 있다. 자연속에 또는 수의 세계에 숨어 있는 수수께끼를 탐정 소설은 읽는 기분으로 풀 수 있다. 실제 따지고 보면 물리학보다 수학쪽이 탐정소설의 수법을 더 닮았다고 할 수 있다.
■ 수학에서의 귀납법 ■
베트남 전쟁 당시에 “도미노 이론”이라는 말이 신문에 자주 오르내린적 있다. 미국의 어떤 정치 이론가가 내놓은 말로 그 내용인 즉, “만일 미국이 베트남에서 손을떼어 이 나라가 공산국가로 되면 그 이웃나라인 타이도 붉게 물들게 되고, 그러면 그 이웃인 미얀마도, 또 물건너 필리핀도, … 결국엔 동남아 전체가 공산화되고 만다”라는 그럴싸한 주장이였다. 그러나 현재상태로 보아 “도미노 이론”이라는게 엉터리였음을 알 수 있다.
“도미노 이론”이란 “도미노 놀이”에서 나온 말이다. 이 게임은 나무나 상아로 만든 28개의 직사각형꼴의 패를 가지고 논다. 그런데 재미 있는 것은 도미노 패를 가지런히 세워 놓고, 맨앞에 있는 것을 넘어뜨리면, 그 다음 것도 또 그 다음 것도 … 하는 식으로 28개의 패가 차례로 같은 운명을 겪게된다는 놀이이다. 위의 “도미노 이론”은 도미노패가 넘어지는 모약에 비유해서 지은 말임은 물론이다.
가지런히 세워진 도미노패가 차례로 모두 넘어지기 위해서는
1) 먼저 선두의 패를 넘어뜨린다.
2) 어느 패도 그것이 넘어지면 뒤에 있는패가 넘어지는 위치에 있도록 한다.
의 조건을 갖추고 있으면 된다. “수학적 귀납법”이란 위의 (1),(2)를 써서 자연수의 집합과 관계가 있는 어떤 가설을 증명하는 방법을 말한다.
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