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페르마의 마지막 정리를 읽고..
이 책은 주로 <페르마의 마지막 정리>의 증명이 어떻게 이루어졌는지 나와 있으나 거기에 국한되지는 않는다. 책의 초반부에는 이 `정수론`이라는 학문이 어떻게 생겨났는지 이야기하고 있다. 피타고라스 학파부터 시작하는데 이 책에서는 피타고라스를 너무 띄워준 느낌이 없잖아 있다. 사실 피타고라스 학파는 수학자 집단이기보다는 신비주의 종교 집단이었다. 내가 본 다른 책에서도 피타고라스는 그런 식으로 묘사되어있다. 책의 초반에 피타고라스가 나온 이유는 페르마의 마지막 정리가 피타고라스의 정리로부터 파생되었기 때문이다. 피타고라스는 페르마의 마지막 정리의 n=2 일 때의 정리이기 때문이다. 그래서 필자가 피타고라스부터 쓴 것 같다.
피타고라스에 이어 페르마에 대해 나온다. 특이하게 페르마는 자기가 내놓은 이론에 대해 누가 꼬치꼬치 캐묻는 것이 귀찮아서 발표를 하지 않았다고 한다. 하긴 그에게 수학은 취미에 불과했으니 말이다. 어쨌든 이런 페르마를 거쳐서 대수학자 오일러가 페르마의 첫 번째 정리를 증명한 이야기들이 야사처럼 나오면서 그들이 페르마의 정리를 증명하려고 어떤 방법으로 몰두했는지 나온다. 그리고 이것은 2차 세계대전을 지나오며 `타니야마-시무라의 추론`이라는 추론까지 나오게 된다.
그 사이에 참 많은 이야기들이 있다. 페르마의 전공이라고 할 수 있는 분야는 정수론이다. 2차 대전 당시 정수론 학자들이 어떻게 암호를 만들고 해독했는지 또는 힐버트가 내놓은 무한대론 등이 그것이다. 2차 대전 이후에 일본에서 `타니야마-시무라의 추론`이 등장하게 되는데 이 추론은 타원의 세계와 모듈의 세계가 서로 통한다는 그런 이론이라고 한다. 수학자들은 이 `타니야마-시무라의 추론`을 증명하면 `페르마의 마지막 정리`도 증명할 수 있다는 논리적 가설을 세웠고 그것을 입증했다. 그래서 수학자들은 `타니야마-시무라의 추론`을 증명하기 위한 노력을 한다. 그러나 역시 뜻대로 되지 않았다. 그래서 하나 둘 씩 포기해 가는데 앤드류 와일즈만 비밀…(생략)
리에 연구를 계속한다.
이 와중에 미야오카라는 수학자가 이 페르마의 마지막 정리를 기하학적으로 이해하자는 논문을 냈고 곧 증명했다는 논문도 냈다. 그러나 이 역시 미분 기하와 정수론을 잇는 끈의 취약점이 발견되었고 다시 페르마의 정리는 증명되지 않은 정리로 남아 있게 되었다. 또 하나 재미있는 것은 이 후에 뉴욕 8번가 지하철에는 이런 낙서가 발견되었다고 한다. `나는 경이적인 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명했다. 그러나 지금 내가 탈 기차가 오고 있기 때문에 여기 적을 만한 시간이 없다!`
어쨌든 와일즈는 7년을 연구한 끝에 단 한명의 동료 닉 카츠의 도움으로 증명을 하고 이를 볼프스켈 상 위원회에 보냈다. 그런데 오류가 발견된 것이다! 그래서 그는 1년을 더 그것에 투자하기 시작한다. 물론 그 동안의 무성한 소문들은 막을 수가 없었다. 와일즈는 동료를 구하기 시작했는데 그의 동료로 제자이자 논문의 취약점으로 발견된 `콜리바긴-플라흐 방법`의 전공자인 테일러를 영입한다. 두 사람은 약 1년 동안 오류를 수정하기 위해 애썼는데 1994년 9월 드디어 두 사람의 이름으로 논문을 한 편 내게 된다. 이것은 1년 전에 낸 논문의 오류를 수정하는 내용이었다. 얼마나 기뻐했을 지는 이루 말할 수 없을 것 같다. 그러나 수학자들은 `페르마의 마지막 정리`에 대한 증명보다 `타니야마-시무라의 추론`에 대한 증명에 대해 더 관심을 기울였다. 사실 이 추론이야말로 20세기의 수학의 밑바탕이기 때문이다.
마지막 장에서는 증명되지 않은 수학들이 나온다. 앞으로도 증명해야 할 수학의 이론은 많다는 뜻인 것 같다. 이 책을 읽으면서 생각했던 것은 정작 페르마는 어떤 방법으로 이 마지막 정리를 증명한 것일까 하는 것이다. 사실 와일즈가 이용한 증명 방법은 20세기에 들어와 만들어진 이론들을 토대로 한 것들이다. 그런데 페르마가 과연 그런 것들을 알고 있었을까. 몰랐을 거라고 생각한다. 그럼 그 당시 페르마가 가진 지식만으로도 증명 가능한 것일텐데 그는 도대체 어떻게 증명했을까.
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수학도서 - 페르마의 마지막 정리를 읽고 페르마 2 .hwp
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